e-olymp 1780. Коды Грея

Задача

Коды Грея получили своё название по имени Франка Грея (Frank Gray), физика из Bell Telephone Laboratories, который в 1930-х годах изобрёл метод, в настоящее время используемый для передачи цветного телевизионного сигнала, совместно с существующими методами передачи и получения чёрно-белого сигнала; т.е. при получении цветного сигнала чёрно-белым приёмником изображение выводится оттенками серого цвета.

Хотя существует множество различных вариантов кодов Грея, рассмотрим только один: «двоичный отражённый (рефлексный) код Грея». Именно этот код обычно имеется в виду, когда говорят о неконкретном «коде Грея».

Отображённый двоичный код Грея строится следующим образом. Начинаем со строк [latex]0[/latex] и [latex]1[/latex], которые представляют соответственно целые числа [latex]0[/latex] и [latex]1[/latex].

0
1

Возьмём отражение этих строк относительно горизонтальной оси после приведённого списка и поместим [latex]1[/latex] слева от новых записей списка, а слева от уже имевшихся разместим [latex]0[/latex].

00
01
11
10

Таким образом получен отражённый код Грея для [latex]n = 2[/latex]. Чтобы получить код для [latex]n = 3[/latex], повторим описанную процедуру и получим:

000
001
011
010
110
111
101
100

При таком способе построения легко увидеть по индукции по [latex]n[/latex], что, во-первых, каждая из [latex]2^n[/latex] комбинаций битов появляется в списке, причём только один раз; во-вторых, при переходе от одного элемента списка к рядом стоящему изменяется только один бит; в-третьих, только один бит изменяется при переходе от последнего элемента списка к первому. Коды Грея, обладающие последним свойством называются циклическими, и отражённый код Грея обязательно является таковым.

Для каждого заданного числа [latex]k[/latex] вывести десятичное значение [latex]k[/latex]-го кода Грея.

Входные данные

Во входном файле содержится некоторый набор тестовых данных, каждое число [latex]k (0 < k < 10^{18})[/latex] в наборе задано в отдельной строке. Количество наборов данных в одном тесте не превышает [latex]10^5[/latex].

Выходные данные

Для каждого заданного числа [latex]k[/latex] вывести в отдельной строке десятичное значение [latex]k[/latex]-го кода Грея.

Входные данные Выходные данные
1 3
14
5
12
2
9
7
10
2 10
50
15
43

Код программы

Решение

Рассмотрим биты числа [latex]n[/latex] и биты числа [latex]G(n)[/latex]. Заметим, что [latex]i[/latex]-ый бит [latex]G(n)[/latex] равен единице только в том случае, когда [latex]i[/latex]-ый бит [latex]n[/latex] равен единице, а [latex]i+1[/latex]-ый бит равен нулю, или наоборот ([latex]i[/latex]-ый бит равен нулю, а [latex]i+1[/latex]-ый равен единице). Таким образом, имеем: [latex]G(n) = n \oplus (n>>1)[/latex], где [latex]\oplus[/latex] — операция «побитовое исключающее ИЛИ», а [latex]>>[/latex] — «побитовый сдвиг вправо».

Ссылки

Ссылка на e-olymp.
Ссылка на Ideone

e-olymp 1489. Шоколад

Задача

Петя очень любит шоколад. И Маша очень любит шоколад. Недавно Петя купил шоколадку и теперь хочет поделиться ею с Машей. Шоколадка представляет собой прямоугольник $n \cdot m$, который полностью состоит из маленькихшоколадных долек — прямоугольников $2 \cdot 1$.       

Петя делит шоколадку на две части, разламывая ее вдоль некоторой прямой, параллельной одному из краев шоколадки. Ни Петя, ни Маша не любят ломаные дольки, поэтому Петя хочет разломать шоколадку так, чтобы ни одна долька не была повреждена.

Помогите Пете поделиться шоколадкой с Машей.

Входные данные

В первой строке входного файла два целых числа $n$ и $m$ ($1 \le n, m \le 20$, хотя бы одно из чисел $n$ и $m$ — четно). Далее следуют $n$ строк по $m$ чисел в каждой — номера долек, в которые входят соответствующие кусочки шоколадки. Дольки имеют номера от $1$ до $\frac{n \cdot m}{2}$, и никакие две дольки не имеют одинаковые номера.

Выходные данные

В выходной файл выведите «$Yes$», если Петя может разломать шоколадку, не повредив дольки. Иначе выведите «$No$».

TESTS

Входные данные Выходные данные
2 3
1 1 2
3 3 2
Yes
5 6
1 2 2 3 3 4
1 5 6 7 7 4
8 5 6 9 10 10
8 11 11 9 12 13
14 14 15 15 12 13
No
4 7
1 1 2 5 8 11 6
2 14 4 7 3 9 5
3 7 10 6 13 2 3
4 3 8 12 5 7 7
Yes

Код решения

Решение

Для решения данной задачи нужно представить шоколадку как двухмерный массив и проверить, можно ли разломать плитку шоколада ровно, то есть одинаковое ли количество «строк» и «столбцов» шоколада. Если так, то возвращается значение true и false в обратном случае.Для этого были созданы функции BreakRow и BreakColumn с возвращаемым значением типа boolean. Затем стоит проверить возвращаемое значение. Если одна из функций принимает значение true, то выводим положительный ответ. В противном случае ответ отрицательный.

Ссылки

Ссылка на E-olymp
Ссылка на решение

Монстр

Ссылка на оригинал задачи

Задача:

Монстр гонится за Риком и Морти на другой планете. Они настолько напуганы, что иногда кричат. Точнее, Рик кричит в моменты времени [latex]b,[/latex] [latex]b + a,[/latex] [latex]b + 2a,[/latex] [latex]b + 3a,[/latex]…, а Морти кричит в моменты времени [latex]d,[/latex] [latex]d + c,[/latex] [latex]d + 2c,[/latex] [latex]d + 3c,[/latex]….

Монстр поймает их, если в какой-то момент времени они закричат одновременно. Так что он хочет знать, когда он поймает их (первый момент времени, когда они закричат одновременно) или они никогда не закричат одновременно.

Ввод:

Первая строка входных данных содержит два целых числа [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex]  [latex](1\leq a,[/latex]  [latex]b\leq 100).[/latex]

Вторая строка входных данных содержит два целых числа [latex]c[/latex] и [latex]d[/latex] [latex](1\leq c,[/latex]  [latex]d\leq 100).[/latex]

Вывод:

Выведите первый момент времени, когда Рик и Морти закричат одновременно, или  - 1, если они никогда не закричат одновременно.

Тесты:

Ввод
Вывод
20 2
9 19
82
2 1
16 12
-1

Код:

Решение:

В этих моментах времени, заданных прогрессиями, изменяется только коэффициент при [latex]a[/latex] и [latex]c.[/latex] Создадим для них 2 цикла. Так как равных моментов времени может быть много, а нам нужен только первый, создаем вектор и ,когда моменты равны, добавляем в него этот момент. Затем, уже вне цикла, проверяем пустой ли вектор, и в таком случаем выводим -1, так как моменты на данном промежутке не были равны ни разу. Если же вектор непустой, выходим первый элемент вектора. Он и будет искомым первым одновременным криком.

 

Версия программы на Ideone.com

Ссылка на источник

e-olymp 109. Нумерация

Постановка задачи

Для нумерации  $latex m$ страниц книги использовали $latex n$ цифр. По заданному $latex n$ вывести $latex m$ или $latex 0$, если решения не существует. Нумерация начинается с первой страницы.

Входные данные

Единственное число n. В книге не более 1001 страницы.

Выходные данные

Искомое количество страниц.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 27 18

Код

 

Описание решения

Для решения данной задачи необходимо использовать переменную с целочисленным значением, которое соответствует количеству цифр использованных для нумерации страниц. Вводим переменную и выводим, какому количеству страниц соответствует данная величина используя логарифм по основанию $latex 10$.

Посмотреть, как работает программа со входными данными 27 можно на сайте  ideone.
Задача решена на основе данного решения.

A324. Делители одного числа, взаимно простые с другим

Задача

Даны целые числа [latex]p[/latex] и [latex]q[/latex]. Получить все делители числа [latex]q[/latex], взаимно простые с числом [latex]p[/latex].

Тесты

q p Все делители числа q, взаимно простые с числом p
40 15 1 2 4 8
87 3 1 29
Решение

Воспользуемся рекурсивной реализацией алгоритма Евклида. Пусть  m и  n  — не равные нулю целые неотрицательные числа, и пусть [latex]m\geq n[/latex]. Тогда, если [latex]n=0[/latex], [latex]GCD(n,m)=m[/latex], а если [latex]n\neq 0[/latex], то для чисел [latex]m,n[/latex] и [latex]k[/latex], где [latex]k[/latex], где [latex]k[/latex] — остаток от деления [latex]m[/latex] и [latex]n[/latex], выполняется равенство [latex]GCD(m,n)=GCD(n,k)[/latex].

Для нахождения делителей числа [latex]q[/latex] взаимно простых с [latex]p[/latex], программа проверяет остатки от деления [latex]q[/latex] на все числа [latex]i[/latex] от [latex]1[/latex] до [latex]q[/latex]. Если остаток равен нулю, то число [latex]i[/latex]  является делителем [latex]q[/latex]. Для каждого такого числа выполняется поиск наибольшего общего делителя (НОД — Greatest common divisor, GCD) [latex]i[/latex] и [latex]p[/latex] по алгоритму Евклида. [latex]1[/latex], то числа [latex]i[/latex] и [latex]p[/latex] взаимно простые.

А320. Вложенный цикл

Задача

Вычислить [latex] \sum\limits_{k = 1}^n (k^3 \sum\limits_{l = 1}^m (k-l)^2) [/latex] при произвольных целых [latex]n[/latex] и [latex]m[/latex].

Тесты

Тесты были подготовлены и проверены с помощью ресурса WolframAlpha.

 №      n      m      Результат
  1      3      2            144
  2      2      9           1332
  3      4      4           1120

Решение

Проверить работу кода можно в облаке по ссылке — Ideone.

Пояснения

Объявляем и инициализируем переменные n  и  m из потока ввода. Объявляем переменные для сумм:  m_sum для вложенного цикла по [latex]l[/latex] и  n_sum для цикла по [latex]k[/latex]. Далее создаем цикл по [latex]k[/latex] от 1 до [latex]n[/latex], в котором мы создаем вложенный цикл по [latex]l[/latex] от 1 до [latex]m[/latex], в котором вычисляем [latex]\sum\limits_{l=1}^m (k-l)^2[/latex] в переменную m_sum , по выходу из данного цикла добавляем произведение [latex] k^3 * \sum\limits_{l = 1}^m (k-l)^2 [/latex] в переменную  n_sum , после чего обнуляем переменную  m_sum . По выходу из цикла выводим финальную сумму в консоль.

А116г

Задача

Даны натуральное число [latex]n[/latex] и действительное число [latex]x[/latex]. Вычислить [latex]\prod\limits_{k = 1}^n (1+\frac{\sin(kx)}{k!})[/latex].

Тесты

 №      n       x         Произведение
  1      4    3.22                0.9673
  2     11   214.3                2.8177
  3      1      14                1.9906
  4      7    0.76                2.8456

Решение

Проверить работу кода можно в облаке по ссылке — Ideone.

Пояснения

Для вычисления данного в условии произведения кроме действительного  x  и натурального  n  введем такие переменные:  mult  — переменная произведения для вычисления в цикле,  fact  — переменная факториала [latex]k[/latex].

Инициализируем переменные  n  и  x значениями из потока ввода, после чего создаем цикл по [latex]k[/latex] от 1 до [latex]n[/latex], в котором будет вычисляться факториал и, собственно, само произведение. При вычислении произведения используем функцию sin()  стандартной библиотеки Math. По завершению цикла, выводим произведение с точностью до четырёх символов после запятой.