e-olimp 197. Отрезок и окружности

Задача

На плоскости задана система концентрических окружностей, центры которых находятся в начале координат, а радиусы равны $1,2,3\dots.$ Также на плоскости задан отрезок, концы которого находятся в точках $(X_{1}, Y_{1})$ и $(X_{2}, Y_{2}).$ Необходимо найти число общих точек этого отрезка и указанной системы окружностей.

Входные данные

Первая строка входного файла содержит 4 целых числа $X_{1}, Y_{1}, X_{2}, Y_{2}.$ Эти числа не превосходят $10^{3}$ по абсолютной величине. Заданный отрезок имеет ненулевую длину.

Выходные данные

В выходной файл выведите ответ на задачу.

Тесты

Входные данные Выходные данные
-1 -1 1 1 2
-1 1 1 1 1
1 1 2 1 1
-5 -5 5 -5 5
-10 10 -10 10 28

Код программы

Решение

Для начала рассмотрим первое условие. Пусть наш отрезок таков, что при движении от одного края к другому, расстояние до начала координат возрастает. Для такого отрезка ответ очевиден — это количество целых чисел между расстояниями от начала координат до обоих концов отрезка. Условие из шестнадцатой строчки кода получилось путем приведения подобных и раскрытия скобок следующих неравенств: $x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}<0$ и $-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}<0.$

Иначе сведем данную задачу к рассмотренной выше. Для этого необходимо найти на отрезке точку, ближайшую к началу координат. Таким образом исходный отрезок разбивается на два новых, для которых выполнено условие из простой задачи. Также следует рассмотреть крайний случай, а именно, если ближайшая к $(0,0)$ точка находится на целом расстоянии от начала координат. В этом случае мы посчитаем это пересечение дважды, поэтому необходимо уменьшить ответ на единицу.

Стоит заметить, что находить саму ближайшую точку нет необходимости. Достаточно найти лишь расстояние до нее. Также мы добавляем маленькую константу
$\varepsilon = 10^{-8}$ к большему расстоянию до конца отрезка и отнимаем из меньшего, чтобы избежать случая нахождения какой-либо точки отрезка на окружности. В противном случае решение задачи будет работать не корректно.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения

e-olimp 146. Квадраты — 2

Задача

В белом квадрате $N$ раз выполнили одну и ту же операцию: один из наименьших белых квадратов разбили на 4 одинаковых квадрата и 2 из них закрасили черным цветом. Для данного $N$ вычислить, сколько процентов занимает площадь черной фигуры.

Входные данные

Во входном файле одно число $N.$ $1\leq N\leq 100.$

Выходные данные

В выходной файл нужно записать ответ, вычисленный с точностью 5 знаков после запятой по правилам математических округлений.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 50.00000
3 65.62500
10 66.66660
50 66.66667

Код программы

Решение

При $N=1$ площадь черной фигуры составляет $50\%$. При $N=2$ площадь фигуры равна $50\% + 50\% \cdot \frac{1}{4}$. При $N=3$ площадь черной фигуры составляет $50\% + 50\% \cdot \frac{1}{4}+50\% \cdot \frac{1}{16}$. Очевидно, что перед нами геометрическая прогрессия. Процент, занимаемый площадью черной фигуры, будем искать через сумму геометрической прогресcии: $S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^{N})}{1-q}$, где ,$q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{12.5}{50}=0.25,$ $N-$ кол-во операций.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения