e-olymp 8254. Номера отеля

Задача

Отель имеет $n$ этажей. Лобби, ресторан и тренажерный зал расположены на первом этаже. Номера находятся со 2-го по $n$-ый этажи. На каждом этаже расположено $m$ стандартных номеров. Если каждый стандартный номер вмещает 3 гостя, какое наибольшее количество гостей может поместиться во всех стандартных номерах отеля?

Входные данные

Два натуральных числа $n$ и $m$ ($n, m\leqslant10^6$).

Выходные данные

Вывести наибольшее количество гостей, которое может поместиться во всех стандартных номерах отеля.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 5 10 120
2 3 1 6
3 2 5 15
4 7 2 36
5 20001 450000 270000000000

Код

Решение

Для решения данной задачи выводим формулу $(n-1) \cdot m \cdot 3$, первый из сомножителей — количество этажей, на которых располагаются номера, второй — количество номеров на каждом из указанных этажей, третий — максимальное количество гостей в каждом номере. Заметим, что по условию на первом этаже номера отсутствуют, поэтому первый сомножитель в формуле будет на единицу меньше, чем количество этажей в отеле.

Ссылки

Задача на сайте e-olymp
Код решения на ideone

e-olymp 9405. Профессор и шары

Условие задачи

Для праздника Профессор купил голубые, красные и жёлтые воздушные шары. Всего $n$ штук. Жёлтых и голубых вместе — $a$. Красных и голубых — $b$ штук.

Сколько голубых, красных и жёлтых шаров купил Профессор?

Входные данные

Три натуральных числа $n$, $a$, $b$.

Выходные данные

В одной строке выведите количество голубых, красных и жёлтых шаров, которые купил Профессор.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 10 6 8 4 4 2
2 12 8 10 6 4 2
3 14 10 12 8 4 2
4 16 14 12 10 2 4

Программный код

Решение

Для решения задачи необходимо вывести формулу для вычисления количества жёлтых ($y$), синих ($u$) и красных ($r$) шаров. Из условия имеем, что:

$$\left.\begin{matrix}
&u&+&y&=a&\\
&r&+&u&=b&\\
&r&+&u&+&y&=n&
\end{matrix}\right\}$$

Выразим $r$ и $y$ через $u$:

$$\left.\begin{matrix}
r=&b&-&u&\\
y=&a&-&u&
\end{matrix}\right\}$$

Подставим эти значения в формулу $r+u+y=n$:

$n=b-u+u+a-u$

$u$ и $-u$ взаимоуничтожатся и мы получим, что:

$n=a+b-u$

Теперь выведем формулу для вычисления количества синих шаров:

$u=b+a-n$

Ссылки

e-olymp 9080. Три богатыря

Задача

Три богатыря шли из Бразилии в Киевскую Русь. Шли они со скоростью [latex]n[/latex] метров в минуту и должны пройти расстояние [latex]r[/latex] километров. Сколько дней им понадобится для преодоления пути?

Входные данные

Два натуральных числа [latex]n[/latex] и [latex]r[/latex] [latex]\left(n, r \leqslant10^{4}\right)[/latex]

Выходные данные

Выведите количество дней, за которое богатыри проделают свой нелегкий путь.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 1 10 7
2 2 8 3
3 4 70 13
4 5 68 10
5 3 12 3

Код программы

Решение

Ответом к задаче будет количество дней, за которое богатыри проделают путь. То есть нам просто надо поделить путь на скорость. Но загвоздка задачи состоит в том, что скорость дана в метрах в минуту, а нам надо перевести в километры в сутки. В одних сутках [latex]1440[/latex] минут, в километре [latex]1000[/latex] метров. Выполнив математические преобразования, получаем, что надо заданное значение скорости умножить на [latex]1.44[/latex]. Выводим результат деления пути на скорость, умноженную на [latex]1.44[/latex]. Так как получится нецелый результат, округляем значение в сторону большего с помощью функции Math.ceil().

Ссылки

e-olymp 8659. Байтик та шахи

Задача

Вкотре запізнившись на урок, Байтик, проходячи повз ігрову кімнату, помітив шахову дошку. Порахував усі клітинки на ній, і йому стало цікаво: скільки різних квадратів зі стороною $k(1 \leqslant k \leqslant n)$ можна розмістити на дошці розміру $n$.

Вхідні дані

Натуральне число $n$ $( n\leqslant 10000)$ розмір шахової дошки.

Вихідні дані

Єдине число – кількість різних квадратів, які можна розмістити на шаховій дошці.

Тести

Входные данные Выходные данные
1 3 14
2 10 385
3 99 328350
4 999 332833500
5 10000 333383335000

Код программы

Рішення

Вирішити цю задачу можна за допомогою квадратного пірамідального числа — числа, яке висловлює кількість квадратів з різними сторонами в сітці $n$*$n$. Загальна формула для пірамідального числа порядку $n$: $\sum\limits_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Використаємо виведену формулу для лінійного обчислення, щоб не використовувати цикли і зменшити час роботи програми.

Посилання

Цифра 3

Условие задачи:

На входе программы имеется натуральное число [latex] n (n < 99) [/latex]. Нужно вывести третью цифру (разряд сотен) числа [latex] n [/latex].

Входные данные:

Натуральное число [latex] n (n < 99) [/latex].

Выходные данные:

Цифра разряда сотен числа [latex] n [/latex].

Тесты:

Ввод Вывод
1 512 5
2 7826 8
3 90285 2
4 12479056 0
5 18942793357 3

Код программы:

Решение:

Для нахождения третьей цифры с конца данного числа, выполним ряд следующих действий:

  • разделим данное натуральное число на [latex] 100 [/latex] и получаем количество сотен в числе: либо однозначное число (цифру), либо многозначное;
  • так как мы хотим получить простую сотню (однозначное число), мы находим остаток от полученного числа при делении на [latex] 10 [/latex].

Ссылки:

Задача на E-Olymp

Решение задачи на ideone

Засчитанное решение на E-Olymp

e-olymp 9518. Точное движение

Задача

Амелия изучает моделирование. Она увлекается моделями с подвижными деталями.

В качестве своего первого задания она сделала прямоугольную коробку размером $2 × n$, которая содержит две параллельные рейки и прямоугольный брусок на каждой из них. Короткий брусок имеет размер $1 × a$, а длинный имеет размер $1 × b$. Длинный брусок имеет стопор на каждом конце, а короткий всегда находится между этими двумя стопорами.

Бруски могут перемещаться вдоль направляющих, по одному стержню за раз, пока короткий брусок находится между стопорами. Таким образом, на каждом движении Амелия выбирает один из брусков и перемещает его, в то время как другой остается на месте.

Первоначально, оба бруска выровнены по одной стороне коробки, и Амелия хочет, чтобы они были выровнены по другой стороне за как можно меньшее количество ходов. Какое минимальное количество ходов она должна сделать, чтобы достичь своей цели?

Входные данные

Три целых числа $a$, $b$ и $n$ $($$1$ $\leqslant$ $a$ $<$ $b$ $\leqslant$ $n$ $\leqslant$ $10$$7$$)$.

Выходные данные

Вывести одно целое число — минимальное количество ходов, которое должна сделать Амелия.

Тесты

Входные данные

Выходные данные

1 1 3 6 5
2 2 4 9 7
3 13 45 153 9
4 4 16 43 7

Код программы

Решение

Ответом к задаче будет суммарное количество перемещений длинного и короткого брусков. Так как нужно найти минимальное количество ходов, то будем поочередно перемещать бруски на максимальное расстояние.

Длинный брусок, что бы он оказался в конце коробки, суммарно нужно переместить на $n-b$. Каждый раз мы перемещаем его на $b-a$ (необходимое расстояние что бы левые концы брусков совпали и дальше перемещать его было невозможно). Тогда количество перемещений длинного бруска это результат деления всего расстояния $n-b$ на шаг $b-a$. Так как в результате может выйти нецелое число, результат необходимо округлить до большего целого. Обозначим это число как $k =\lceil $$\frac{n-b}{b-a}\rceil$.

Короткий брусок каждый раз будем перемещать до совпадения правых концов брусков. Он будет «догонять» длинный брусок и сделает на один ход больше чем длинный, так как короткий брусок всегда делает первый и последний ход.

Тогда суммарное количество ходов будет $2k+1$.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp

Код программы на ideone

e-olymp 123. Количество нулей у факториала

Задача

Найти количество нулей в конце записи факториала числа $n$.

Входные данные

Одно число $n$ $(1 \leqslant n \leqslant2\cdot10^9)$

Выходные данные

Количество нулей в конце записи $n!$

Тесты

ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
 1 1 0
 2 7 1
 3 12 2
 4 100 24
 5 306 75
 6 5000 1249

Код

Решение

Каждый нуль в конце искомого числа возникает от произведения чисел 2 и 5 — других вариантов нет. Очевидно, множителей 5 будет меньше множителей 2. Значит, количество нулей определяется исключительно количеством множителей-пятерок. Один такой множитель содержат числа 5, 10, 15, 20, 25, …, $n$ — всего их насчитывается $\frac{n}{5}$. Два множителя содержат числа 25, 50, …, $n$ всего их $\frac{n}{5^2}$.Три множителя содержат $\frac{n}{5^3}$.Складывая количество множителей с учетом их повторения, найдем общее их количество:

$\lfloor\frac{n}{5}\rfloor+\lfloor\frac{n}{5^2}\rfloor+\lfloor\frac{n}{5^3}\rfloor+\ldots+\lfloor\frac{n}{5^k}\rfloor$

Суммирование происходит до тех пор, пока очередное слагаемое не станет равным 0.

Ссылки

Формула разложения на простые множители

Условие задачи на e-olymp

Код на Ideone

Засчитанное решение на e-olymp 

e-olymp 920. Использование функций min и max

Задача

Задано три вещественных числа [latex]x, y[/latex] и [latex]z[/latex]. Определить [latex]\min\left(\max\left(x,y\right), \max\left(y,z\right), x+y+z\right)[/latex], воспользовавшись вспомогательными функциями для вычисления минимального и максимального элементов из двух заданных.

Входные данные

В одной строке задано три вещественных числа [latex]x, y[/latex] и [latex]z[/latex]. Значения чисел не превышают по модулю [latex]100[/latex].

Выходные данные

Вывести ответ с двумя десятичными знаками.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1  5 6 7  7.00
2  1.05 2.25 -2.15  1.15
3  3 3 3  3
4  8.85 5.67 7.33  7.33
5  12 -15 13  10

Алгоритм решения

  1. Находим максимум из [latex]x[/latex] и [latex]y[/latex].
  2. Находим максимум из [latex]y[/latex] и [latex]z[/latex].
  3. Находим минимум из найденных максимумов.
  4. Находим минимум из найденного минимума и суммы данных чисел.

Условие задачи можно найти на e-olymp
Код решения — ideone

ML11

Условие задачи

Определить время падения камня на поверхность земли с высоты [latex]h[/latex].

Алгоритм решения

Для начала оговорим трактовку условия задачи.

1. Поскольку в условии ничего не говорится про начальную скорость камня, будем считать ее равной нулю.
2. Аналогично в условии ничего не говорится про точность результата. От этого зависит как округление до определенного количества знаков после запятой в выводе, так и то, с какой точностью следует указать ускорение свободного падения, поскольку каноны физики требуют, чтобы ответ на физическую задачу указывался с точностью наимение точно указанного в условии данного. В данном решении я взял значение [latex]g[/latex] свойственное Одессе с точностью 4 значка после запятой. Соответственно, ответ будет выводиться с такой же точностью.
3. Предполагается что высота и время должны указываться в СИ

Тогда наша рабочая формула выглядит следующим образом: \[\sqrt{\frac{2 \cdot h}{g}},\] где \[g = 9.8075 \frac{m}{s^{2}}\] Вводить в программе [latex]g[/latex], как отдельную переменную или константу нет смысла, т.к. она используется только раз. Поэтому в коде вместо [latex]g[/latex] стоит просто ее значение.

Тесты

Высота (м) Время (сек)
1 0 0
2 5 1.0098
3 20 2.0195
4 80 4.0391

Код программы

Код на ideone.com.

Задача оригинал на языке С++(другого автора) на java.mazurok.com.

e-olymp112.Торт

В честь дня рождения наследника Тутти королевский повар приготовил огромный праздничный торт, который был подан на стол Трем Толстякам. Первый толстяк сам мог бы целиком его съесть за $t_1$ часов, второй — за $t_2$ часов, а третий — за $t_3$ часов.

Сколько времени потребуется толстякам, чтобы съесть весь праздничный торт вместе?

Входные данные

Единственная строка содержит три целых неотрицетельных числа $t_1$, $t_2$ и $t_3$, каждое из которых не превосходит $1000$.

Выходные данные

Вывести время в часах, за которое толстяки вместе могут съесть торт. Результат округлить до двух десятичных знаков.

Тесты

$t_1$ $t_2$ $t_3$ $t$
3 3 3 1.00
4 67 50 3.51
228.22 8 2.28 1.76
1577 157.7 15.77 14.21

С ветвлением

 

Без ветвления

Решение с ветвлением

Первый толстяк ест со скоростью один торт за $t_1$ часов. Аналогично и с остальными толстяками. Тогда из торта следует вычесть те части, которые съест каждый, чтобы торта не осталось. Получается уравнение
$1-\frac{t}{t_1}-\frac{t}{t_2}-\frac{t}{t_3}=0;$
$\frac{t}{t_1}+\frac{t}{t_2}+\frac{t}{t_3}=1;$
$\frac{tt_2t_3+tt_1t_3+tt_1t_2}{t_1t_2t_3}=1;$
$t\left(t_1t_2+t_2t_3+t_1t_3\right)=t_1t_2t_3;$
$t = \frac{t_1t_2t_3}{t_1t_2+t_2t_3+t_1t_3};$
Рассматриваем случай, при котором одна из переменных равна нулю, тогда выводим ноль. В противном случае выводим значение $t$ с округлением до сотых.

Решение без ветвления

Так как по условию задачи первый толстяк съедает весь торт за $t_1$ часа, второй — за $t_2$ часа и третий — за $t_3$ часа, то их скорость поедания торта составит $\frac{1}{t_1}$, $\frac{1}{t_2}$ и $\frac{1}{t_3}$ торта в час соответсвенно. Если толстяки будут есть торт одновременно, то в час они будут съедать $\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\frac{1}{t_3}\right)$ часть торта. Тогда весь торт будет съеден за $\frac{1}{\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\frac{1}{t_3}}$ часов.
Затем нужно вывести результат, округлённый до двух десятичных знаков.

Ссылки

Ссылка на E-olymp
Ссылка на решение