Задача

Ваш любимый дядя – директор фирмы, которая делает евроремонты в офисах. В связи с финансово-экономическим кризисом, дядюшка решил оптимизировать свое предприятие.

Давно ходят слухи, что бригадир в дядюшкиной фирме покупает лишнее количество стройматериалов, а остатки использует для отделки своей новой дачи. Ваш дядя заинтересовался, сколько в действительности банок краски необходимо для покраски стены в офисе длиной $L$ метров, шириной $W$ и высотой $H$, если одной банки хватает на $16$ метров квадратных, а размерами дверей и окон можно пренебречь? Заказов много, поэтому дядя попросил написать программу, которая будет все это считать.

Входные данные

В первой строке содержится количество заказов. Описание каждого заказа состоит из трех натуральных чисел $L$, $W$, $H$ — длины, ширины и высоты офиса в метрах соответственно, каждое из которых не превышает $1000$.

Выходные данные

Для каждого заказа выводится в отдельную строку одно число – количество банок краски, необходимых для окраски офиса.

Тесты

 

Входные данные	Выходные данные
$1$ $1$ $1$ $1$	$1$
$3$ $8$ $7$ $10$ $15$ $8$ $4$ $3$ $5$ $4$	$19$ $12$ $4$
$2$ $27$ $88$ $19$ $999$ $999$ $999$	$274$ $249501$

Код программы

читаем площадь стен комнаты как сумму площадей $4$ прямоугольников: $$hw + hl + hw + hl = 2hw + 2hl = 2h \cdot (w + l)$$ Теперь, зная площадь стен, рассчитаем количество банок краски. Для этого поделим площадь стен на $16$ и округлим вверх. Для округления вверх можно использовать тернарный условный оператор: если $s$ делится нацело на $16$, то ответ будет $\displaystyle \frac{s}{16}$, в противном случае – $\displaystyle \frac{s}{16} + 1$ (деление переменной int – целочисленное). Так как в задаче необходимо обрабатывать несколько таких примеров подряд, то все вычисления взяты в цикл от $0$ до $r$ (название переменной $r$ в самой задаче не указано, оно выбрано произвольно).

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на ideone.com

Задача

Спортсменам-фигуристам [latex]n[/latex] судей выставляют оценки. Технический работник соревнований изымает все максимальные и все минимальные оценки, а для остальных оценок вычисляет среднее арифметическое значение. Этот результат считается баллом, полученным спортсменом. Найти такой балл для каждого спортсмена.

Входные данные

В первой строке находятся два целых числа: количество судей [latex]n[/latex] и количество спортсменов [latex]m[/latex]. В следующих [latex]m[/latex] строках находятся [latex]n[/latex] целых чисел – оценки всех судей [latex](0 < n \leqslant 10, 0 < m \leqslant 100)[/latex] для каждого из фигуристов.

Выходные данные

В одной строке вывести [latex]m[/latex] чисел с точностью до двух десятичных знаков — балл каждого спортсмена.

Тесты

#	Входные данные	Выходные данные
1	5 4 7 8 9 8 10 6 5 5 4 7 9 9 10 7 7 7 7 10 9 8	8.33 5.33 9.00 8.50
2	6 3 6 7 6 5 4 3 9 8 5 5 6 5 7 6 4 1 2 2	5.25 7.00 3.50
3	4 5 6 7 8 6 9 8 5 4 7 6 7 5 4 3 9 3 7 8 7 6	7.00 6.50 6.00 4.00 7.00
4	4 4 7 7 2 3 9 8 3 3 5 4 9 7 4 3 2 6	3.00 8.00 6.00 3.50
5	8 5 4 5 6 7 7 4 9 8 3 5 6 6 7 8 5 9 7 6 3 9 3 7 9 7 5 6 4 3 7 7 5 7 9 8 4 6 7 9 9 4	6.60 6.17 6.75 5.00 7.00

Код программы

Решение задачи

Для решения задачи нам необходимо изъять все минимальные и максимальные значения в каждой строчке. Переменные [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] — это количество вхождений максимума и минимума соответственно. Берем любой элемент строки, который обозначили переменной [latex]x,[/latex] и будем считать, что он минимальный и максимальный. Далее сравниваем элементы между собой и находим максимум и минимум и подсчитываем их количество. Ещё нам необходимо посчитать сумму оставшихся значений, а также их количество по формуле [latex]n — a — b.[/latex] А затем вычисляем среднее арифметическое для оставшихся значений по формуле [latex]\displaystyle\frac{sum}{n — a — b}[/latex] и выводим результат.

Ссылки

Ссылка на e-olymp

Ссылка на ideone

Задача

Лонги хорошо разбирается в математике, он любит задумываться над трудными математическими задачами, которые могут быть решены при помощи некоторых изящных алгоритмов. И вот такая задачка возникла:
Дано целое число [latex]n[/latex] [latex](1 < n < 231)[/latex], Вы должны вычислить [latex]\sum\limits_{i=1}^n gcd [/latex] для всех [latex] 1 ≤ i ≤ n[/latex].
"О, я знаю, я знаю!" — воскликнул Лонги! А знаете ли Вы? Пожалуйста, решите её.

Входные данные

Каждая строка содержит одно число [latex]n[/latex].

Выходные данные

Для каждого значения [latex]n[/latex] следует вывести в отдельной строке сумму [latex]\sum\limits_{i=1}^n gcd [/latex] для всех [latex] 1 ≤ i ≤ n[/latex].

Тесты

Входные данные	Выходные данные
[latex]2[/latex] [latex]6[/latex]	$3$ $15$
[latex]1[/latex] [latex]50[/latex] [latex]100[/latex]	$1$ $195$ $520$
[latex]7[/latex] [latex]4791[/latex] [latex]12345678[/latex] [latex]478900[/latex]	$13$ $15965$ $170994915$ $4980040$
[latex]123[/latex] [latex]7777[/latex] [latex]157423949[/latex] [latex]904573[/latex] $2147483648$	$405$ $54873$ $613124817$ $1809145$ $35433480192$

Код программы

Согласно свойству НОД, если некоторые числа [latex]a_1[/latex] и [latex]a_2[/latex] взаимно просты, то [latex]\gcd \left(a_1 \cdot a_2, c\right) = \gcd \left(a_1, c\right) \cdot \gcd \left(a_2, c\right)[/latex], где [latex]c[/latex] — некоторая константа. Если же вместо [latex]c[/latex] взять [latex]i[/latex] ([latex] 1 ≤ i ≤ a_1 \cdot a_2[/latex]) и просуммировать по [latex]i[/latex] обе части равенства, получим:
[latex]\sum\limits_{i=1}^{a_1 \cdot a_2} \gcd \left(a_1 \cdot a_2, i\right) = \sum\limits_{i=1}^{a_1 \cdot a_2} \left(\gcd \left(a_1, i\right) \cdot \gcd \left(a_2, i\right)\right) = \sum\limits_{i=1}^{a_1} \gcd \left(a_1, i\right) \cdot \sum\limits_{i=1}^{a_2} \gcd \left(a_2, i\right)[/latex].
Значит мы можем данное число представить как произведение простых в некоторых степенях. Эти числа, очевидно, будут взаимно простыми, из чего следует возможность применения данного свойства и последующего суммирования по [latex]i[/latex].
Теперь докажем, что для любого простого числа [latex]p[/latex] в степени [latex]a\geqslant 1[/latex] верно следующее равенство:
[latex]\sum\limits_{i=1}^{p^a} \gcd\left(p^a, i\right) = \left(a + 1\right)\cdot p^a — a \cdot p^{a-1} [/latex].
Обозначим $\sum\limits_{i=1}^{r} \gcd\left(r, i\right)$ как $g\left(r\right)$.
База индукции:
[latex]a = 1[/latex]:
$$g\left(p\right) = \gcd\left(p, 1\right) + \gcd\left(p, 2\right) + \ldots + \gcd\left(p, p\right) = \left(p — 1 \right) + p = 2 \cdot p — 1.$$
Если [latex]a = 2[/latex]:
$$g\left(p^{2}\right) = \gcd\left(p^{2}, 1\right) + \gcd\left(p^{2}, 2\right) + \ldots + \gcd\left(p^{2}, p\right) + \gcd\left(p^{2}, p + 1\right) + \ldots + \\ + \gcd\left(p^{2}, 2 \cdot p\right) + \ldots + \gcd\left(p^{2}, p^{2}\right) = 1 + 1 + \ldots + p + 1 + \ldots + p + \ldots + p^{2} = \\ = \left( p^{2} — p \right) + p \cdot \left( p — 1 \right) + p^{2} = 3 \cdot p^{2} — 2\cdot p.$$
Для любых $a \geqslant 2$:
$$g\left(p^{a}\right) = \sum\limits_{j=1}^{p^{a-1}} \gcd\left(p^a, j\right) + \sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a, j\right) + p^{a} =g\left(p^{a — 1}\right) + p^{a} + \\ + \sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a — 1, j\right).$$
Причем:
$$\sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a — 1, j\right) = \sum\limits_{j=1}^{p^{a} — p^{a-1} — 1} \gcd\left(p^{a — 1}, j\right) = \\ = \sum\limits_{j=1}^{p^{a} — p^{a-1}} \gcd\left(p^{a — 1}, j\right) — p^{a — 1} = \left( p — 1\right)\cdot g\left(p^{a-1}\right) — p^{a-1}.$$
Откуда следует:
$$g\left(p^{a}\right) = p^{a} — p^{a-1} + p\cdot g\left(p^{a-1}\right).$$
Предположение индукции:
Пусть [latex]a = b[/latex]:
$$g\left(p^{b}\right) = \left(b + 1\right) \cdot p^b — b \cdot p^{b-1}.$$
Шаг индукции:
Пусть [latex]a = b + 1[/latex]:
$$g\left(p^{b + 1}\right) = p^{b + 1} — p^{b} + p\cdot g\left(p^{b}\right) = p^{b + 1} — p^{b} + p\cdot \left[\left(b+1\right) \cdot p^{b} + b\cdot p^{b-1}\right] = \\ = \left(b + 2\right)\cdot p^{b+1} — \left(b + 1\right)\cdot p^{b}.$$

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения

Задача

Уезжая из дома, поэт оставлял коту, прикованному к дубу цепью длиной $l$, $n$ рыбин. Зная координаты головы и хвоста каждой из них, подсчитайте, на какие сутки у кота визникнет чувство голода, если оно возникает тогда, когда за сутки он съест меньше, чем $k$ рыбин. Рыбину он может съесть, если сможет дотянуться хотя бы к одной её точке. Координаты дуба $(0, 0)$.

Входные данные

В первой строке находятся числа $l$, $n$, $k$. Далее идет $n$ строк: координаты головы $(x_{1i}, y_{1i})$ и хвоста $(x_{2i}, y_{2i})$ каждой рыбины. Все входные данные — целые числа, не превышающие по модулю $100$.

Выходные данные

Вывести день, на который у кота появится чувство голода.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
[latex]4\, 4\, 2[/latex]	[latex]2[/latex]
[latex]1\, 1\, -1\, 3[/latex]
[latex]2\, 2\, 4\, 2[/latex]
[latex]-3\, -4\, -3\, 4[/latex]
[latex]1\, -5\, 4\, -4[/latex]
[latex]3\, 2\, 1[/latex]	[latex]3[/latex]
[latex]1\, 2\, 3\, 4[/latex]
[latex]1\, -1\, -1\, 1[/latex]
[latex]3\, 5\, 4[/latex]	[latex]1[/latex]
[latex]2\, 4\, 5\, 7[/latex]
[latex]1\, -1\, -1\, 1[/latex]
[latex]8\, 10\, 2\, 7[/latex]
[latex]12\, 3\, 4\, 2[/latex]
[latex]100\, 100\, -100\, -100[/latex]

Код программы

Решение задачи

Для каждой рыбы мы будем делать такой процесс.
Для начала проверим расстояния от начала координат до каждого из концов рыбы. Если хотя бы одно из них меньше либо равно длине цепи, то кот сможет съесть эту рыбу и ничего больше проверять не надо. Если же эти расстояния больше длины цепи поступим так. Найдем уравнение прямой проходящей через две точки (координаты начала и конца рыбы). Оно имеет вид: $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ Приведем его к виду $ax+by+c=0$. Получим, что $a=y_2-y_1$, $b=-(x_2-x_1)$, $c=y_1(x_2-x_1)-x_1(y_2-y_1)$. Теперь проверим длину перпендикуляра к этой прямой от начала координат (т. к. если длина перпендикуляра больше длины цепи, кот точно не дотянется до рыбы). Расстояние $d$ от точки $(0,0)$ до прямой $ax+by+c=0$ посчитаем по формуле: $$d=\frac{a\cdot 0+b\cdot 0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ Избавляясь от корня и деления, получим условие: $$c^2\leq l^2(a^2+b^2)$$ (где $l$ — длина цепи). Если это условие выполняется, остается проверить, что точка пересечения перпендикуляра и прямой лежит между началом и концом рыбы (нам достаточно проверить по одной из координат, например по второй). Прямая, перпендикулярная исходной и проходящая через точку $(0,0)$, будет иметь вид: $$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$$ (т. к. $(a,b)$ — нормальный вектор к прямой, проходящей через начало и конец рыбы). Получаем систему из двух уравнений и двух неизвестных. Решая эту систему, получаем, что вторая координата точки пересечения равна: $$y=\frac{-cb}{a^2+b^2}$$ Теперь проверяем, лежит ли эта координата, между вторыми координатами начала и конца рыбы. Если да, то кот сможет съесть эту рыбу, иначе — нет.
Ответом на задачу будет $\left \lfloor\frac{count}{k}\right \rfloor+1$, где $count$ — количество рыб, до которых смог дотянуться кот, $k$ — минимальное количество рыб, которое кот должен съесть в сутки.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения

Задача

Лаурел и Харди — два известных киногероя $50$-ых. Они известны своей разницей в весе, как можно увидеть на картинке. Если Вы еще не разобрались, кто из них кто, то я добавлю, что Лаурел легче. В свои юношеские годы Лаурел и Харди любили играть со странными качелями, и когда качели находились в равновесии, то Харди всегда был у земли. Мы рассмотрим двумерную версию качель.

Качели, которыми пользовались Лаурел и Харди, представляют собой часть окружности радиуса $r$, как показано на картинке (они закрашены серым и имеют вид буквы $D$). Харди сел на точку $B$ (самая правая точка качель), а Лаурел сел на точку $A$ (самая левая точка отрезка $AB$). $d = EF$ — расстояние между центром отрезка $AB$ и дуги $AFB$. То есть $E$ — середина отрезка $AB$, а $F$ — середина дуги $AFB$. $MN$ — основа качель, является горизонтальной прямой. $BD = h_1$ — расстояние от Харди до земли. Вам необходимо найти расстояние от Лаурела до земли (обозначаемое $h_2 = AC$).

Входные данные

Первая строка содержит количество тестов $N \space (0 < N ≤ 1000)$. Каждая из следующих $N$ строк представляет собой отдельный тест, который имеет следующий формат:

Каждая строка содержит три целых числа $r \space (10 ≤ r ≤ 100), \space$ $d \space (5 ≤ d ≤ r), \space$ $h_1 \space (5 ≤ h_1 ≤ d)$. Значение этих чисел приведено выше.

Выходные данные

Для каждого теста в отдельной строке вывести его номер и действительной число — значение $h_2$. Это число должно содержать четыре десятичных знака. Формат вывода приведен в примере.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
2 10 10 10 10 7 6	Case 1: 10.0000 Case 2: 8.0342
3 12 7 7 11 11 8 54 12 6	Case 1: 7.0000 Case 2: 14.0000 Case 3: 19.7383
5 94 21 12 23 9 8 5 4 3 2 2 1 43 26 20	Case 1: 32.1226 Case 2: 10.0439 Case 3: 5.0440 Case 4: 3.0000 Case 5: 32.4231

Код программы

Решение

Для лучшего понимания решения данной задачи, я построил к ней чертеж, который вы можете видеть сверху. Но прежде чем приступить непосредственно к объяснению решения, я хотел бы обратить внимание на то, что мой рисунок (даже без дополнительных построений) немного отличается от данного нам в условии. Эти различия преднамеренны и метод решения справедлив для обоих рисунков.

В $10$ строке введем число $N$ из входного потока, а в $12$ — запустим цикл, который будет работать $N$ раз. Далее за каждый проход цикла будем читать по $3$ следующих числа из входного потока и выводить на экран номер текущего теста. Перед тем, как идти дальше, разберемся в рисунке. Так как по условию отрезок $EF$ делит сегмент $AFB$ пополам, то по свойствам хорд и дуг окружности, он является частью радиуса $r$ нашей окружности с центром в точке $O$ и перпендикулярен хорде $AB$, что и показано на чертеже. Кроме того, я дорисовал радиусы $OA$ и $OB$ окружности к соответствующим точкам и начертил отрезок $BH$, как продолжение $AB$, от точки $B$ до прямой $MN$. Также, я построил прямоугольный треугольник $\triangle OGB$, в котором катет $OG = r-BD$.
Достроив все необходимые отрезки, легко заметить, что мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ с катетом $AC$, длину которого нам и нужно найти по условию задачи. Предлагаю сделать это, воспользовавшись формулой $AC = AH \cdot \sin(\angle AHC)$. Найдем значения сомножителей.

Из рисунка очевидно, что $\angle AHC = \angle BHD = \angle EBG = \angle OBG-\angle OBE.$
Сначала найдем $\angle OBG$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle OGB$. Длины его гипотенузы и противолежащего к искомому углу катета нам уже известны, так что можем сразу найти $\angle OBG = \arcsin \frac{OG}{OB}$.
Теперь найдем $\angle OBE$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OEB$. В нем противолежащий искомому углу катет $OE = r-d$, а гипотенуза $OB = r$. Значит, $\angle OBE = \arcsin \frac{OE}{OB}$.
В итоге остаётся только найти разницу этих углов, которая и будет являться величиной искомого $\angle AHC$. В коде же значение этого угла считается в $17$ строке и присваивается переменной a .

Стоит заметить, что если $\angle OBG-\angle OBE = 0$, то длины отрезков $AC$ и $BD$, очевидно, совпадают. В таком случае можем сразу вывести на экран $h_2 = h_1$, как мы и поступили в $19$ строке, и перейти к нахождению $AC$ уже для следующего тестового случая.

Если же величина $\angle AHC$ отлична от $0$, то нам все еще предстоит посчитать длину гипотенузы $AH$ треугольника $\triangle ACH$. Она состоит из хорды $AB$ и отрезка $BH$.
Сперва найдем длину хорды. Известно, что $OF$ делит ее на $2$ одинаковых по длине отрезка, значит, следует опять рассмотреть треугольник $\triangle OEB$. Длину его гипотенузы и одного из катетов мы уже находили, так что просто применим теорему Пифагора и найдем $EB = \sqrt{OB^2-OE^2}$. Тогда $AB = 2 \cdot EB$.
Для нахождения длины $BH$, рассмотрим треугольник $\triangle BDH$, в котором этот отрезок является гипотенузой. Длину катета $BD$ и величину угла $\angle BHD$ мы уже знаем, значит, можем применить формулу $BH = \frac{BD}{\sin(\angle BHD)}$.
Сложим найденные значения длин хорды $AB$ и отрезка $BH$, чтобы получить $AH$. В коде эта длина находится в $22$ строке и присваивается переменной b .

Теперь остается только подставить найденные значения в ранее приведенную формулу и получить наконец длину $h_2$, которую выведем на экран в $23$ строке.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на Ideone
Решение этой же задачи на C++

Задача

Зимой, когда дни стают короче, а ночи длиннее, необходимо задуматься об уборке снега с улиц. Поскольку бюджет нашего города очень маленький, у нас в распоряжении только один снегоход. Несмотря на это дороги должны быть прочищены. И каждый раз, когда выпадает много снега, ночью снегоход нашего города выезжает со своего гаража и объезжает весь город, очищая дороги. Какое минимальное время нужно снегоходу, чтобы очистить все проезжие полосы всех дорог и вернуться назад?

При этом известно, что:

• Снегоход может очищать только одну проезжую полосу дороги за один проход.
• Все дороги прямые с одной полосой движения в каждом направлении.
• Снегоход может поворачивать на любом перекрестке в любую сторону, а также может развернуться в тупике.
• Во время очистки снега снегоход двигается со скоростью 20 км/час, и со скоростью 50 км/час по уже очищенной дороге.
• Возможность проехать все дороги всегда существует.

Входные данные

Первая строка содержит два числа $x$ и $y$ ($-30000 \leq x, y \leq 30000$) — координаты ангара (в метрах), откуда начинает свое движение снегоход. Далее в каждой отдельной строке заданы координаты (в метрах) начала и конца улиц (по $4$ числа в строке). В городе может быть до $100$ улиц.

Выходные данные

Время в часах и минутах, необходимое для очистки всех дорог и возврата в ангар. Время следует округлить до ближайшей минуты

Тесты

Входные данные	Выходные данные
$0$ $0$ $0$ $0$ $-1000$ $2000$ $0$ $0$ $1000$ $2000$	$0:27$
$0$ $1000$ $0$ $0$ $0$ $3000$ $0$ $0$ $1000$ $1000$ $0$ $0$ $3000$ $0$ $3000$ $0$ $3000$ $3000$ $3000$ $3000$ $0$ $3000$ $0$ $3000$ $1000$ $2000$ $3000$ $0$ $2000$ $1000$ $3000$ $3000$ $2000$ $2000$	$1:46$
$-500$ $0$ $-1000$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1000$ $0$ $-1000$ $1000$ $0$ $0$ $-1000$ $1000$ $0$ $2000$ $0$ $2000$ $1000$ $1000$ $1000$ $1000$ $0$ $1000$ $0$ $1000$ $0$ $0$	$0:49$
$1000$ $500$ $-1000$ $0$ $1000$ $0$ $-1000$ $1000$ $1000$ $1000$ $-1000$ $0$ $-1000$ $1000$ $1000$ $0$ $1000$ $1000$ $-1000$ $0$ $1000$ $1000$ $1000$ $0$ $-1000$ $1000$ $-1000$ $1000$ $0$ $2000$ $0$ $2000$ $1000$ $1000$	$1:20$
$500$ $-500$ $0$ $0$ $1000$ $-1000$ $1000$ $-1000$ $2000$ $0$ $2000$ $0$ $3000$ $-1000$ $3000$ $-1000$ $4000$ $0$ $4000$ $0$ $5000$ $-1000$ $5000$ $-1000$ $6000$ $0$ $0$ $0$ $8000$ $0$	$1:39$

Код программы

Решение задачи

Пусть граф $G = \left \langle V, U \right \rangle$ — граф, ребра которого — указанные в задаче дороги, а вершины — перекрестки. Граф $G$ — ориентированный, при чем, в силу того, что все дороги имеют двустороннее движение, из того, что $\left ( v_i, v_j \right ) \in U$ следует, что $\left ( v_j, v_i \right ) \in U.$ Из этого следует, что полустепень захода каждой вершины равна ее полустепени исхода, из чего, по критерию существования Эйлерова цикла, граф $G$ содержит Эйлеров цикл, т.е. существует путь, такой, что снегоход сможет очистить все дороги, пройдя по каждой ровно один раз в каждую сторону, следовательно длина такого пути будет равна удвоенной длине дорог. Снегоход всегда двигается со скоростью $V = 20 \text{км/час} = \frac{1000}{3} \text{м/мин}.$ По каждой из дорог снегоход проезжает два раза, таким образом общее искомое время минутах: $t = \frac{2L}{V} = \frac{3L}{500},$ где $L$ — длина всех дорог.
Замечание. Как видно из алгоритма решения, не имеет значения, где конкретно расположена точка начала движения, главное, чтобы она располагалась на одной из улиц.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp

Решение задачи на e-olymp

Код решения