Задача

Пусть даны две прямоугольные матрицы $A$ и $B$ размерности $m \times n$ и $n \times q$ соответственно:
$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \; , \; B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1q} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nq} \end{bmatrix} .$$
Тогда матрица $C$ размерностью $m \times q$ называется их произведением:
$$C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & \ldots & c_{1q} \\ c_{21} & c_{22} & \ldots & c_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \ldots & c_{mq} \end{bmatrix} ,$$
где:
$$c_{i,j} = \sum_{r=1}^{n} a_{i,r}b_{r,j} \; \left(i = 1, 2, \ldots m; j = 1, 2, \ldots q\right).$$
Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована.

Задано две матрицы $A$ и $B$. Найти их произведение.

Входные данные

В первой строке задано $2$ натуральных числа $n_a$ и $m_a$ – размерность матрицы $A$. В последующих $n_a$ строках задано по $m_a$ чисел – элементы $a_{ij}$ матрицы $A$. В $\left(n_a + 2\right)$-й строке задано $2$ натуральных числа $n_b$ и $m_b$ – размерность матрицы $B$. В последующих $n_b$ строках задано по $m_b$ чисел – элементы $b_{ij}$ матрицы $B$. Размерность матриц не превышает $100 \times 100$, все элементы матриц целые числа, не превышающие по модулю $100$.

Выходные данные

В первой строке вывести размерность итоговой матрицы $C$: $n_c$ и $m_c$. В последующих $n_c$ строках вывести через пробел по $m_c$ чисел – соответствующие элементы $c_{ij}$ матрицы $C$. Если умножать матрицы нельзя — в первой и единственной строке вывести число $-1$.

Тесты

Входные данные	Выходные данные
2 3 1 3 4 5 -2 3 3 3 1 3 2 2 1 3 0 -1 1	2 3 7 2 15 1 10 7
3 3 1 5 3 2 6 1 7 -1 -3 3 2 3 6 -1 1 3 1	3 2 7 14 3 19 13 38
4 4 4 8 -18 16 3 7 14 -42 2 1 1 7 4 9 5 -2 4 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0	4 4 4 8 -18 16 3 7 14 -42 2 1 1 7 4 9 5 -2
3 3 5 7 -1 8 9 3 0 -6 17 2 3 7 -15 1 8 8 2	-1
2 3 57 -49 31 89 11 -37 3 1 19 -19 0	2 1 2014 1482

Код программы

Решение

Для начала, считываем данные матрицы $A$ из входного потока и записываем их в двумерный динамический массив. Далее, получив данные о размерности второй матрицы, мы можем определить, выполнима ли операция умножения, и если нет, то прервать выполнение программы. Если операция умножения данных матриц выполнима, то считываем и записываем данные второй матрицы, после чего, по приведённой выше формуле вычисляем произведение матриц $C = A \times B.$ Наконец, выводим полученную матрицу $C$.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Решение на ideone
Решение на e-olymp
Умножение матриц на Wikipedia

Постановка задачи

Суммы по косой. Просуммировать элементы матрицы [latex]A(n,n)[/latex] по каждой из линий, параллельных главной диагонали. Напечатать полученные суммы.

Входные данные:

[latex]n[/latex] — размерность матрицы [latex](n\geq 1)[/latex].
[latex]A[/latex] — квадратная матрица.

Выходные данные:

Суммы элементов матрицы [latex]A[/latex] по каждой из линий, параллельной главной диагонали.

Тесты

№	Входные данные		Выходные данные
	Размерность матрицы [latex](n)[/latex]	Матрица [latex]A[/latex]	Суммы
1	2	[latex]\begin{pmatrix} 3 & 6\\ -7 & -5 \end{pmatrix} [/latex]	-7  -2  6
2	3	[latex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} [/latex]	7  12  15  8  3
3	4	[latex]\begin{pmatrix} 4 & 1 & -6 & 3\\ 2 & 8 & 19 & 7\\ -8 & -11 & 3 & -13\\ 0 & 2 & 16 & -9 \end{pmatrix} [/latex]	0  -6  7  6  7  1  3

Посмотреть работу программы на примере третьего теста можно на сайте ideone.

Решение

Описание решения

Сначала объявляем переменную n — размерность матрицы [latex]A[/latex] — и присваиваем ей значение, которое вводит пользователь. Если [latex](n\geq 1)[/latex] — продолжаем работу, иначе выводим сообщение об ошибке и завершаем работу программы.

Теперь, зная размерность матрицы, можем инициализировать 2 массива:

1. Двумерный массив double[][] matrix = new double[n][n]; размерностью [latex](n\times n)[/latex], который будет содержать в себе значения элементов матрицы [latex]A[/latex];
2. Массив double[] sum = new double [2*n - 1]; размерностью [latex](2*n-1)[/latex] для хранения сумм диагоналей. Такая размерность обусловлена следующей логикой: главная диагональ матрицы размерностью [latex](n\times n)[/latex] содержит [latex]n[/latex] элементов. Побочная диагональ, находящаяся выше, содержит в себе уже [latex](n-1)[/latex] элементов и т.д., пока элементов в диагонали больше нуля. Становится ясно, что выше главной диагонали находится [latex](n-1)[/latex] побочных диагоналей, еще столько же ниже. Прибавляем еще главную диагональ к этому числу и выводим формулу количества диагоналей у матрицы, параллельных главной: [latex]2(n-1)+1=2n-1[/latex].

Заполняем с помощью двух циклов for массив matrix из потока ввода, а затем в таких же циклах находим суммы элементов требуемых диагоналей ( sum[(j-i) + (n-1)] += matrix[i][j];).

Известно, что индексы [latex]i,j[/latex] элементов главной диагонали матрицы всегда одинаковы. Аналогично можно заметить, что на побочных диагоналях индекс [latex]j[/latex] отличается от индекса [latex]i[/latex] на число — «расстояние» между главной диагональю и рассматриваемой побочной. К примеру, если рассматривать побочную диагональ, находящуюся выше через одну от главной («расстояние» между ними равно 2), то в таком случае [latex]j-i=2[/latex].

И если на главной диагонали разность индексов будет равна 0, на диагоналях выше эта разность будет числом положительным, а на диагоналях ниже — отрицательным, то при попытке обращения к элементу массива sum[j-i] мы неизбежно столкнемся с ошибкой, так как индекс массива не может быть числом отрицательным. Значит, чтобы избежать этого, нам надо прибавить к этому индексу некую константу, чтобы самая нижняя диагональ [latex]n-1[/latex] обладала индексом 0 в массиве sum. Отсюда и формула [latex](j-i+n-1)[/latex].