Условие
Вычислите с точностью  значение функции $latex f(x)=\csc x$. При вычислениях допустимо использовать только арифметические операции.

x	$latex \varepsilon$	Результат
42	0.3	-8.09848e-05
8	0.15	-0.0117188
55.5	0.04	-3.50972e-055
-12	0.6	0.00347222
-82	0.0001	-3.23677e-08

Решение
Косеканс — это тригонометрическая функция, которою можно определить формулой $latex \csc x=\frac{1}{\sin x}$. Таким образом, мы можем разложить  функцию в бесконечную сумму степенных функций, воспользовавшись формулой Тейлора. Получим, что $latex \sin x=x-\frac{{x}^{3}}{3!}+\frac{{x}^{5}}{5!}-\dots=\sum_{n=0}^{\propto}\frac{{-1}^{n}\times{x}^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}$. Слагаемые данной суммы являются геометрической прогрессией, знаменатель который можно найти по формуле $latex \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{\frac{{-1}^{n}\times{a}^{2n+1}}{\left(2n+1 \right)!}}{\frac{{-1}^{n-1}\times{a}^{2n-1}}{\left(2n-1 \right)!}}=\frac{\left( -1\right){a}^{2}}{2n\times\left( 2n+1\right)}$  .  Будем вычислять сумму до тех пор, пока разность -го и  -го слагаемых  будет больше заданной точности.

Ideone.com