Задача

Уезжая из дома, поэт оставлял коту, прикованному к дубу цепью длиной $l$, $n$ рыбин. Зная координаты головы и хвоста каждой из них, подсчитайте, на какие сутки у кота визникнет чувство голода, если оно возникает тогда, когда за сутки он съест меньше, чем $k$ рыбин. Рыбину он может съесть, если сможет дотянуться хотя бы к одной её точке. Координаты дуба $(0, 0)$.

Входные данные

В первой строке находятся числа $l$, $n$, $k$. Далее идет $n$ строк: координаты головы $(x_{1i}, y_{1i})$ и хвоста $(x_{2i}, y_{2i})$ каждой рыбины. Все входные данные — целые числа, не превышающие по модулю $100$.

Выходные данные

Вывести день, на который у кота появится чувство голода.

Тесты

Код программы

Решение задачи

Для каждой рыбы мы будем делать такой процесс.
Для начала проверим расстояния от начала координат до каждого из концов рыбы. Если хотя бы одно из них меньше либо равно длине цепи, то кот сможет съесть эту рыбу и ничего больше проверять не надо. Если же эти расстояния больше длины цепи поступим так. Найдем уравнение прямой проходящей через две точки (координаты начала и конца рыбы). Оно имеет вид: $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ Приведем его к виду $ax+by+c=0$. Получим, что $a=y_2-y_1$, $b=-(x_2-x_1)$, $c=y_1(x_2-x_1)-x_1(y_2-y_1)$. Теперь проверим длину перпендикуляра к этой прямой от начала координат (т. к. если длина перпендикуляра больше длины цепи, кот точно не дотянется до рыбы). Расстояние $d$ от точки $(0,0)$ до прямой $ax+by+c=0$ посчитаем по формуле: $$d=\frac{a\cdot 0+b\cdot 0+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ Избавляясь от корня и деления, получим условие: $$c^2\leq l^2(a^2+b^2)$$ (где $l$ — длина цепи). Если это условие выполняется, остается проверить, что точка пересечения перпендикуляра и прямой лежит между началом и концом рыбы (нам достаточно проверить по одной из координат, например по второй). Прямая, перпендикулярная исходной и проходящая через точку $(0,0)$, будет иметь вид: $$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}$$ (т. к. $(a,b)$ — нормальный вектор к прямой, проходящей через начало и конец рыбы). Получаем систему из двух уравнений и двух неизвестных. Решая эту систему, получаем, что вторая координата точки пересечения равна: $$y=\frac{-cb}{a^2+b^2}$$ Теперь проверяем, лежит ли эта координата, между вторыми координатами начала и конца рыбы. Если да, то кот сможет съесть эту рыбу, иначе — нет.
Ответом на задачу будет $\left \lfloor\frac{count}{k}\right \rfloor+1$, где $count$ — количество рыб, до которых смог дотянуться кот, $k$ — минимальное количество рыб, которое кот должен съесть в сутки.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения

Задача

Лаурел и Харди — два известных киногероя $50$-ых. Они известны своей разницей в весе, как можно увидеть на картинке. Если Вы еще не разобрались, кто из них кто, то я добавлю, что Лаурел легче. В свои юношеские годы Лаурел и Харди любили играть со странными качелями, и когда качели находились в равновесии, то Харди всегда был у земли. Мы рассмотрим двумерную версию качель.

Качели, которыми пользовались Лаурел и Харди, представляют собой часть окружности радиуса $r$, как показано на картинке (они закрашены серым и имеют вид буквы $D$). Харди сел на точку $B$ (самая правая точка качель), а Лаурел сел на точку $A$ (самая левая точка отрезка $AB$). $d = EF$ — расстояние между центром отрезка $AB$ и дуги $AFB$. То есть $E$ — середина отрезка $AB$, а $F$ — середина дуги $AFB$. $MN$ — основа качель, является горизонтальной прямой. $BD = h_1$ — расстояние от Харди до земли. Вам необходимо найти расстояние от Лаурела до земли (обозначаемое $h_2 = AC$).

Входные данные

Первая строка содержит количество тестов $N \space (0 < N ≤ 1000)$. Каждая из следующих $N$ строк представляет собой отдельный тест, который имеет следующий формат:

Каждая строка содержит три целых числа $r \space (10 ≤ r ≤ 100), \space$ $d \space (5 ≤ d ≤ r), \space$ $h_1 \space (5 ≤ h_1 ≤ d)$. Значение этих чисел приведено выше.

Выходные данные

Для каждого теста в отдельной строке вывести его номер и действительной число — значение $h_2$. Это число должно содержать четыре десятичных знака. Формат вывода приведен в примере.

Тесты

Код программы

Решение

Для лучшего понимания решения данной задачи, я построил к ней чертеж, который вы можете видеть сверху. Но прежде чем приступить непосредственно к объяснению решения, я хотел бы обратить внимание на то, что мой рисунок (даже без дополнительных построений) немного отличается от данного нам в условии. Эти различия преднамеренны и метод решения справедлив для обоих рисунков.

В $10$ строке введем число $N$ из входного потока, а в $12$ — запустим цикл, который будет работать $N$ раз. Далее за каждый проход цикла будем читать по $3$ следующих числа из входного потока и выводить на экран номер текущего теста. Перед тем, как идти дальше, разберемся в рисунке. Так как по условию отрезок $EF$ делит сегмент $AFB$ пополам, то по свойствам хорд и дуг окружности, он является частью радиуса $r$ нашей окружности с центром в точке $O$ и перпендикулярен хорде $AB$, что и показано на чертеже. Кроме того, я дорисовал радиусы $OA$ и $OB$ окружности к соответствующим точкам и начертил отрезок $BH$, как продолжение $AB$, от точки $B$ до прямой $MN$. Также, я построил прямоугольный треугольник $\triangle OGB$, в котором катет $OG = r-BD$.
Достроив все необходимые отрезки, легко заметить, что мы имеем прямоугольный треугольник $\triangle ACH$ с катетом $AC$, длину которого нам и нужно найти по условию задачи. Предлагаю сделать это, воспользовавшись формулой $AC = AH \cdot \sin(\angle AHC)$. Найдем значения сомножителей.

Из рисунка очевидно, что $\angle AHC = \angle BHD = \angle EBG = \angle OBG-\angle OBE.$
Сначала найдем $\angle OBG$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle OGB$. Длины его гипотенузы и противолежащего к искомому углу катета нам уже известны, так что можем сразу найти $\angle OBG = \arcsin \frac{OG}{OB}$.
Теперь найдем $\angle OBE$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OEB$. В нем противолежащий искомому углу катет $OE = r-d$, а гипотенуза $OB = r$. Значит, $\angle OBE = \arcsin \frac{OE}{OB}$.
В итоге остаётся только найти разницу этих углов, которая и будет являться величиной искомого $\angle AHC$. В коде же значение этого угла считается в $17$ строке и присваивается переменной a .

Стоит заметить, что если $\angle OBG-\angle OBE = 0$, то длины отрезков $AC$ и $BD$, очевидно, совпадают. В таком случае можем сразу вывести на экран $h_2 = h_1$, как мы и поступили в $19$ строке, и перейти к нахождению $AC$ уже для следующего тестового случая.

Если же величина $\angle AHC$ отлична от $0$, то нам все еще предстоит посчитать длину гипотенузы $AH$ треугольника $\triangle ACH$. Она состоит из хорды $AB$ и отрезка $BH$.
Сперва найдем длину хорды. Известно, что $OF$ делит ее на $2$ одинаковых по длине отрезка, значит, следует опять рассмотреть треугольник $\triangle OEB$. Длину его гипотенузы и одного из катетов мы уже находили, так что просто применим теорему Пифагора и найдем $EB = \sqrt{OB^2-OE^2}$. Тогда $AB = 2 \cdot EB$.
Для нахождения длины $BH$, рассмотрим треугольник $\triangle BDH$, в котором этот отрезок является гипотенузой. Длину катета $BD$ и величину угла $\angle BHD$ мы уже знаем, значит, можем применить формулу $BH = \frac{BD}{\sin(\angle BHD)}$.
Сложим найденные значения длин хорды $AB$ и отрезка $BH$, чтобы получить $AH$. В коде эта длина находится в $22$ строке и присваивается переменной b .

Теперь остается только подставить найденные значения в ранее приведенную формулу и получить наконец длину $h_2$, которую выведем на экран в $23$ строке.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на Ideone
Решение этой же задачи на C++