e-olymp 806. Платформы — 3

Задача

В старых играх можно столкнуться с такой ситуацией. Герой прыгает по платформам, висящим в воздухе. Он должен перебраться от одного края экрана до другого. При прыжке с платформы на соседнюю, у героя уходит $|y_{2} — y_{1}|^2$ энергии, где $y_{1}$ и $y_{2}$ — высоты, на которых расположены эти платформы. Кроме того, есть суперприём, позволяющий перескочить через платформу, но на это затрачивается $3|y_{3} -y_{1}|^2$ энергии.

Известны высоты платформ в порядке от левого края до правого. Найдите минимальное количество энергии, достаточное, чтобы добраться с $1$-й платформы до $n$-й (последней).

Входные данные

Первая строка содержит количество платформ $n$ $(2 \leqslant n \leqslant 10^5)$, вторая — $n$ целых чисел, значения которых не превышают по модулю $4000$ — высоты платформ.

Выходные данные

Выведите единственное целое число — искомую величину энергии.

Тесты

Входные данные  Выходные данные
1 4
1 2 3 30
731
2 4
0 1 6 8
40
3 8
1 15 16 23 42 10 84 5
828
4 7
57 54 -55 -34 21 88 -100
55189
5 7
-4000 4000 -4000 4000 -4000 4000 -4000
0

Код программы

Решение

Чтобы решить задачу, мы создадим массив $energy$, где будем хранить минимальную энергию, которую герой потратит для прыжка на очередную $i$-ю платформу. Для этого необходимо для каждой платформы, начиная со второй, рассмотреть три вида прыжка:

  • прыжок с предыдущей $i — 1$ платформы.
  • суперприём, то есть прыжок c $i — 2$ платформы.
  • 3-й вид: суперприём с $i — 1$ платформы на $i + 1$ и прыжок назад на $i$.

«Цены» за обычный прыжок и суперприём мы можем найти из формул данных в условии, с 3-м же сложнее — результатом будет сумма «цены» суперприёма $3(y_{i+1} — y_{i-1})^2$ и «цены» прыжка назад $(y_{i} — y_{i+1})^2$.

Для понимания схемы можно рассмотреть в качестве примера второй тест.
Синим обозначен 3-ий тип. Красными цифрами — весь путь.

второй тест

Каждый из 3-х путей даст своё значение энергии, равное сумме «цены» прыжка на $i$-ю платформу и значения в той, из которой герой совершил прыжок. Наименьшей энергией для этой платформы будет минимум из этих трех значений.
На второй платформе $(i = 1)$ в случае суперприёма мы выходим за границы массива и получаем независимое значение, поэтому эффективнее будет в качестве «цены» выбирать максимум из двух других уже найденных значений. Аналогично на последней  $(i = n — 1)$ и 3-м типе прыжка, максимум будет невыгодным и соответственно не будет выбран как минимум в $energy_{i}$.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код программы на ideone

e-olymp 8674. Игра

Задача

Мурад и Ибрагим играют в следующую игру. Изначально дается число $1$. На своем ходу каждый игрок должен умножить текущее число на одно из целых чисел от $2$ до $9$ включительно. Цель состоит в том, чтобы получить число не меньше заданного целого числа $n$. Игрок, получивший такой номер первым, объявляется победителем. Мурад всегда начинает первым. Выясните, кто победит, если Мурад и Ибрагим будут играть оптимально.

Входные данные

Первая строка содержит одно число $t$ $(1 \leqslant t \leqslant 2500)$ — количество тестов. Каждая из следующих $t$ строк содержит одно целое число $n$ $(2 \leqslant n \leqslant 10^9)$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите в отдельной строке $1$, если Мурад выиграет игру, и $2$ иначе.

Тесты

Входные данные

Выходные данные

1 4
9
10
1149729
999999999
1
2
2
1
2 3
6
163
1234567
1
2
2
3 3
42
100
1000
1
1
1

 

Код программы

Решение с циклом для каждого отдельного теста:

 

Решение без цикла для каждого отдельного теста:

 

Решение

Для начала заметим, что победит тот игрок, чей ход выпадет на число из промежутка $[\frac{n}{9},n)$, так как любое число из этого промежутка можно умножить на соответствующее целое число из $[2,9]$ и получить число не меньшее чем $n$. Назовем такой промежуток «зеленой зоной» (в общем виде будет $[\frac{2n}{18^k},\frac{n}{18^{k-1}})$, $k \in \mathbb {N}$). Тогда очевидно, что проиграет тот игрок, чей ход выпадает на число из промежутка $[\frac{n}{18},\frac{n}{9})$, так как при умножении числа из этого промежутка на любое целое число из $[2,9]$, приводит к тому, что получается число из «зеленой зоны». Назовем такой промежуток «красной зоной» (в общем виде будет $[\frac{n}{18^k},\frac{2n}{18^k})$, $k \in \mathbb {N}$). Получаем, что промежуток $(0,n)$ делится на «красные» и «зеленые зоны». Тогда задача сводится к нахождению вида «зоны» в которой находится $1$.

Используя в реализации цикл для каждого отдельного теста, получить результат достаточно несложно. Однако, для заданного $n$ можно получить исход игры используя лишь линейные вычисления.

Рассмотрим цепочку неравенств (учитывая, что $2 \leqslant n$ ):  $$\lfloor \log _{18} n \rfloor \leqslant \log _{18} n \leqslant \lceil  \log _{18} n \rceil$$

$$ 18^{\lfloor \log _{18} n \rfloor} \leqslant n \leqslant 18^{\lceil  \log _{18} n \rceil}$$

$$\frac{1}{18^{\lceil  \log _{18} n \rceil}} \leqslant \frac{1}{n} \leqslant \frac{1}{18^{\lfloor \log _{18} n \rfloor}}$$

$$\frac{n}{18^{\lceil  \log _{18} n \rceil}} \leqslant 1 \leqslant \frac{n}{18^{\lfloor \log _{18} n \rfloor}}$$

Из общего вида «красной зоны» видно, что левый ее конец это число вида $\frac{n}{18^k}$, значит $\frac{n}{18^{\lceil  \log _{18} n \rceil}}$ является левым концом «красной зоны», обозначим его как $l$. Тогда, $2l$ будет правым концом «красной зоны» исходя из её общего вида. Из полученного неравенства видно, что $1$ лежит между левыми концами соседних «красных зон». Получаем, что если $2l \leqslant 1$, то единица лежит в «зеленой зоне», а иначе — в «красной».

Ссылки

Условие задачи на e-olymp

Решение без цикла для каждого отдельного теста на ideone

Решение с циклом для каждого отдельного теста на ideone

e-olymp 2671. Сапер

Задача

Дан список мин. Требуется составить поле для игры в сапер.

Входные данные

Даны числа $N$ и $M$ (целые, положительные, не превышают $32$) — количество строк и столбцов в поле соответственно, далее число $W$ (целое, неотрицательное, не больше $100$) — количество мин на поле, далее следует $W$ пар чисел, координаты мины на поле (первое число — строка, второе число — столбец).

Выходные данные

Требуется вывести на экран поле. Формат вывода указан в примере.

Тесты

 

Входные данные Выходные данные
3 2
2
1 1
2 2
* 2
2 *
1 1
2 2
0
0 0
0 0
10 10
5
1 1
3 3
5 5
7 7
9 9
* 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 1 1 0 0 0 0 0 0
0 1 * 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 2 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 * 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 2 1 1 0 0
0 0 0 0 0 1 * 1 0 0
0 0 0 0 0 1 1 2 1 1
0 0 0 0 0 0 0 1 * 1
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
1 1
1
1 1
*
32 32
10
1 1
2 2
4 4
4 3
3 4
5 5
27 28
30 30
22 31
32 32
* 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 * 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 4 * 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 * * 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 3 * 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 *

Код программы

Решение задачи

Для хранения координат мин будем использовать двумерный массив. Все ячейки массива, используемые под поле, и их окружающие следует заблаговременно обнулить, чтобы получить точное количество мин при подсчете.

Ссылки

Условие задачи на сайте e-olymp

код задачи на ideone

e-olymp.472.Вероятность

Задача

Вася придумал новую игру. Для игры требуется полоска из трёх стоящих в ряд клеток, фишки $n$ различных видов и непрозрачный мешок.

В начале игры одинаковое количество фишек каждого вида помещается в мешок. Игра заключается в том, что игрок вытаскивает из мешка фишки одну за другой и помещает эти фишки в клетки полоски в том порядке, в котором он их вытащил. Игра считается выигранной, если на каких-нибудь двух соседних клетках оказались одинаковые фишки.

Сыграв несколько раз, иногда выигрывая и иногда проигрывая, Вася задумался над вопросом, насколько он везучий человек. А именно, насколько частота его выигрышей больше или меньше средней.

Чтобы оценить среднюю частоту выигрышей, Вася решил найти такую величину: количество выигрышных вариантов заполнения полоски разделить на количество всех вариантов заполнения полоски. Количество всех вариантов заполнения полоски Вася нашёл самостоятельно (получилось $n^3$), а вот для нахождения количества выигрышных вариантов он обратился к своему знакомому, лучше разбирающемуся в математике и программировании, т.е. к Вам.

Входные данные

В первой строке входных данных находится число ($1 \leq n \leq 10$)— количество видов фишек.

Выходные данные

Выведите одно число — количество выигрышных способов заполнить полоску из трёх клеток такими фишками.

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]2[/latex] [latex]6[/latex]
[latex]3[/latex] [latex]15[/latex]
[latex]5[/latex] [latex]45[/latex]
[latex]7[/latex] [latex]91[/latex]
[latex]9[/latex] [latex]153[/latex]

Код программы

Решение задачи

При проигрышных вариантах на выбранной полоске из трех позиций на первое место мы можем поставить [latex]n[/latex] вариантов фишек, а на вторую позицию [latex]n[/latex] — [latex]1[/latex],так как мы можем поставить все варианты кроме того вида, что использовали ранее, аналогично с третьей позицией. Теперь вычтем из кол-ва всех вариантов заполнения [latex]n^3[/latex] кол-во проигрышных [latex]n\cdot(n-1)^2[/latex] и получим кол-во выигрышных способов заполнить полоску. Все варианты могут быть выигрышными только в том случае, если у нас 1 вариант фишек.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp.com.

Код решения на ideone.com.