e-olymp 88. Месть Ли Чака

Задача

“Я хочу быть пиратом!” Мы напоминаем эту известную фразу Гайбраша Трипвуда из серии компьютерных игр Monkey Island («Остров Обезьян»). Гайбраш участвовал в другом приключении и серьезно нуждается в Вашей помощи, потому что на этот раз это вопрос жизни и смерти. Наш Гайбраш в последнем приключении приплыл на таинственный остров (ТО), чтобы найти подсказку для еще более таинственного сокровища. Тем временем Ли Чак узнал об этой поездке и подготовил ловушку Гайбрашу на ТО. ТО имеет прямоугольную форму (поскольку мы знаем, что он таинственный) и его карта может рассматриваться как матрица такой же размерности. Назовем каждый элемент матрицы участком. Некоторые участки могут быть заполнены горными скалами. Такие участки считаются непроходимыми.

Рассмотрим остров, карта которого изображена на рисунке. Эта карта представляет собой матрицу с $6$ строками и $7$ столбцами. Комнаты «R» показывают участки со скалами. Гайбраш должен начинать с участка, отмеченного «g», а Ли Чак – с участка «l». У Гайбраша есть шанс сбежать с этого проклятого острова, если он достигнет конечного участка, который отмечен символом «e» на карте. Каждую единицу времени Гайбраш может пойти на соседний с текущим участок по горизонтали или вертикали (но не по диагонали), если в нем нет скал, или не двигаться. То есть он может переместиться на один участок вверх, вниз, влево, вправо или вообще остаться на месте. В приведенном примере Гайбраш в первый момент времени может остаться или пойти в комнату слева от него. Все указанные правила применяются также и к движению Ли Чака, но с одним исключением: он не может войти на конечный участок (отмеченный «e»). То есть, каждую единицу времени Ли Чак может пойти на один участок вверх, вниз, влево, вправо (если только это не «R» или «e») или стоять. Мы предполагаем, что каждую единицу времени сначала делает ход (или стоит) Гайбраш, а затем ходит (или стоит) Ли Чак, в следующую единицу времени опять сначала Гайбраш, затем Ли Чак и так далее. Если Гайбраш и Ли Чак встретятся на одном участке, то Ли Чак немедленно убьет нашего бедного Гайбраша.

Ваша задача состоит в том, чтобы узнать, есть ли по крайней мере один безопасный путь или нет. Безопасный путь – это путь для Гайбраша (от «g» до «e») такой, что Ли Чак не может поймать Гайбраша на этом пути независимо от того, что он (Ли Чак) делает каждую единицу времени.

Входные данные

Первая строка входа содержит единственное целое число — количество тестовых случаев. Далее идут строки данных для тестовых случаев. Каждый тест начинается со строки, содержащей два целых числа $R$ и $C$ ($4 \leq R, C \leq 30$), которые обозначают количество строк и столбцов карты таинственного острова соответственно. Далее следуют $R$ строк, каждая содержит $C$ символов, представляющих карту. Есть единственные отметки «g», «l» и «e» на карте.

Выходные данные

Для каждого теста необходимо вывести единственную строку. Если существует, по крайней мере, хотя бы один безопасный путь для тестового случая, должно быть выведено слово «YES», и слово «NO», если такого пути нет. Предполагается, что если существует безопасный путь, то необходимо не более $1000$ единиц времени для прохождения по нему Гайбраша.

Тесты

Входные данные Выходные данные
$531$ $348$ $1645$ $911$
$1784353$ $453345$ $463973$ $214457$
$39252362$ $345673$ $786536$ $302328$
$68790234$ $679643$ $789057$ $281232$
$324$ $8564$ $45074547$ $32984424$

Код программы

Решение задачи

Представим карту острова в виде неориентированного графа, вершинами которого в случае Гайбраша являются все участки, кроме участков с пометкой «R», а для Ли Чака — все участки, кроме участков с пометками «R» и «e». Две вершины будут соединяться ребром, если они соответствуют участкам, имеющим общую сторону. Обозначим начальное местоположение Гайбраша — $g,$ Ли Чака — $l.$, выход $e.$
Безопасный для Гайбраша маршрут существует тогда и только тогда, когда существует путь $\omega,$ такой, что для $\forall v \in \omega \ \rho \left(g, v \right ) + 1 < \rho(l, v).$ С помощью поиска в ширину найдем минимальное количество шагов, за которое Ли Чак попадает в каждую клетку, в которую он может попасть. Аналогично реализуем поиск в ширину для Гайбраша с той лишь разницей, что Гайбраш должен миновать те вершины графа, в которые он будет добираться дольше, чем Ли Чак. Если при этом найдется путь, соединяющий вершину, соответствующую начальному местоположению Гайбраша с вершиной, соответствующую цели, то он сможет спастись, в противном случае — нет.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Решение на e-olymp
Код решения на Ideone

e-olymp 1388. Заправки

Задача с сайта e-olymp.com.

Условие задачи

В стране n городов, некоторые из которых соединены между собой дорогами. Для того, чтобы проехать по одной дороге требуется один бак бензина. В каждом городе бак бензина имеет разную стоимость. Вам требуется добраться из первого города в n-ый, потратив как можно меньшее количество денег.

Входные данные

Сначала идет количество городов n (1 ≤ n ≤ 100), затем идет n чисел, i-ое из которых задает стоимость бензина в i-ом городе (все числа целые из диапазона от 0 до 100). Затем идет количество дорог m в стране, далее идет описание самих дорог. Каждая дорога задается двумя числами — номерами городов, которые она соединяет. Все дороги двухсторонние (то есть по ним можно ездить как в одну, так и в другую сторону); между двумя городами всегда существует не более одной дороги; не существует дорог, ведущих из города в себя.

Выходные данные

Выведите одно число — суммарную стоимость маршрута или -1, если добраться невозможно.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 4
1 10 2 15
4
1 2 1 3 4 2 4 3
3
2 4
1 10 2 15
0
-1
3 5
1 2 3 4 5
4
1 2 2 3 3 4 4 5
10

Код программы

Описание

Оптимальную стоимость маршрута будем находить по алгоритму Дейкстры. Цены на бензин в i-ом городе хранятся в массиве price. Минимальные стоимости маршрутов к каждому из городов хранятся в массиве distance, изначально все маршруты принимаем бесконечно дорогими. Кроме того, для хранения информации о том, был ли рассмотрен i-й город, используется массив used. Сам граф представляется в виде списка смежности. Для этого используется массив векторов graph. Если в итоге стоимость маршрута до целевого города осталась бесконечной, значит, пути к нему не существует, и выводится -1. Иначе выводится эта стоимость.

Код на ideone.com.

Засчитанное решение на e-olymp.com.

e-olymp 5072. Подсчет количества ребер

Постановка задачи

Ссылка на задачу с сайта e-olymp

Ориентированный граф задан матрицей смежности. Найдите количество ребер в графе.

Входные данные:

Входной файл содержит число [latex]n(1 \leq n \leq 100)[/latex] — число вершин в графе, и затем [latex]n[/latex] строк по [latex]n[/latex] чисел, каждое из которых равно [latex]0[/latex] или [latex]1[/latex] — его матрицу смежности.

Выходные данные:

Выведите в выходной файл количество ребер заданного графа.

Тест

Значения Результат
1 3
0 1 1
1 0 1
0 1 1
6

Решение

Ссылка на решение задания с сайта e-olymp

Ссылка на решение задания на онлайн компиляторе Ideone.com

Описание решения

Объявляем переменную  n типа int. Чтобы найти количество ребер в графе, вводим в двух циклах каждый элемент матрицы смежности и если значение больше нуля, то увеличиваем сумму.

e-olymp 975. Флойд

Задача

Постановка задачи на e-olymp.

Дан ориентированный взвешенный граф. Найти пару вершин, кратчайшее расстояние от одной из которых до другой максимально среди всех пар вершин.

Входные данные

В первой строке содержится количество вершин графа [latex]n[/latex] [latex](1 \leq n \leq 100)[/latex]. В следующих [latex]n[/latex] строках находится по [latex]n[/latex] чисел, которые задают матрицу смежности графа. В ней -1 означает отсутствие ребра между вершинами, а любое неотрицательное число — присутствие ребра данного веса. На главной диагонали матрицы всегда расположены нули.

Выходные данные

Вывести искомое максимальное кратчайшее расстояние.

Тесты

n matrix Результат
1 4 0   5   9   -1
-1   0   2   8
-1   -1   0   7
4   -1  -1   0
16
2 3 0   -1   2
2    0  -1
4    1   0
4
3 5 0  -1  -1  3  4
2  0  3  -1  4
-1  4  0  -1  4
3  -1  2  0  1
1  1  -1  -1  0
8

Ссылка на успешно пройденные тесты на сайте e-olymp.

Решение

Проверить работу кода можно в облаке по ссылке — Ideone.

Пояснения

Данная задача решается при использовании алгоритма Флойда-Уоршелла, суть которого состоит в нахождении длин кратчайших путей между всеми парами вершин во взвешенном ориентированном графе. Код данного алгоритма можно наблюдать в цикле по [latex]i[/latex], в котором имеются два вложенных цикла по [latex]j[/latex] и по [latex]k[/latex]. Здесь мы проходим по элементам матрицы смежности графа, проверяя существует ли ребро между вершинами. Далее следуя алгоритму Флойда выполняем следующее действие — с помощью функции Math.min()  находим минимальный путь из одной вершины в другую, записывая  его в матрицу. По нахождении всех кратчайших путей, находим максимальный из них, и выводим его в консоль.

e-olymp 974. Флойд-1

Полный ориентированный взвешенный граф задан матрицей смежности. Постройте матрицу кратчайших путей между его вершинами. Гарантируется, что в графе нет циклов отрицательного веса.

Входные данные

В первой строке записано количество вершин графа n (1 ≤ [latex]n[/latex] ≤ 100). В следующих n строках записано по [latex]n[/latex] чисел — матрица смежности графа ([latex]j[/latex]-ое число в [latex]i[/latex]-ой строке соответствует весу ребра из вершины [latex]i[/latex] в вершину [latex]j[/latex]). Все числа по модулю не превышают 100. На главной диагонали матрицы — всегда нули.

Выходные данные

Выведите [latex]n[/latex] строк по [latex]n[/latex] чисел — матрицу кратчайших расстояний между парами вершин. [latex]j[/latex]-ое число в [latex]i[/latex]-ой строке должно равняться весу кратчайшего пути из вершины [latex]i[/latex] в вершину [latex]j[/latex].

Алгоритм

(взято с Википедии)

Пусть вершины графа [latex]{\displaystyle G=(V,\;E),\;|V|=n}[/latex] пронумерованы от 1 до [latex] {\displaystyle n}[/latex] и введено обозначение [latex]{\displaystyle d_{ij}^{k}}[/latex] для длины кратчайшего пути от [latex] {\displaystyle i}[/latex] до [latex]{\displaystyle j}[/latex], который кроме самих вершин [latex] {\displaystyle i,\;j} [/latex] проходит только через вершины [latex]{\displaystyle 1\ldots k} [/latex]. Очевидно, что [latex]{\displaystyle d_{ij}^{0}} [/latex] — длина (вес) ребра [latex]{\displaystyle (i,\;j)}[/latex], если таковое существует (в противном случае его длина может быть обозначена как [latex]{\displaystyle \infty } [/latex] ).

Существует два варианта значения [latex] {\displaystyle d_{ij}^{k},\;k\in \mathbb {(} 1,\;\ldots ,\;n)} d_{ij}^{k},\;k\in \mathbb {(} 1,\;\ldots ,\;n)[/latex]:

Кратчайший путь между [latex]{\displaystyle i,\;j}[/latex] не проходит через вершину [latex] {\displaystyle k}[/latex], тогда [latex]{\displaystyle d_{ij}^{k}=d_{ij}^{k-1}}[/latex] Существует более короткий путь между [latex]{\displaystyle i,\;j}[/latex], проходящий через [latex]{\displaystyle k}[/latex], тогда он сначала идёт от [latex]{\displaystyle i} [/latex] до [latex] {\displaystyle k} [/latex], а потом от [latex] {\displaystyle k} [/latex] до [latex] {\displaystyle j} [/latex]. В этом случае, очевидно, [latex]{\displaystyle d_{ij}^{k}=d_{ik}^{k-1}+d_{kj}^{k-1}}[/latex]

Таким образом, для нахождения значения функции достаточно выбрать минимум из двух обозначенных значений.

Тогда рекуррентная формула для [latex]{\displaystyle d_{ij}^{k}}[/latex] имеет вид:

[latex]{\displaystyle d_{ij}^{0}}[/latex] — длина ребра [latex] {\displaystyle (i,\;j);} (i,\;j);[/latex] [latex]{\displaystyle d_{ij}^{k}=\min(d_{ij}^{k-1},\;d_{ik}^{k-1}+d_{kj}^{k-1}).}[/latex]

Алгоритм Флойда-Уоршелла последовательно вычисляет все значения [latex]{\displaystyle d_{ij}^{k},} [/latex], [latex]{\displaystyle \forall i,\;j}[/latex] для [latex] {\displaystyle k} [/latex] от 1 до [latex] {\displaystyle n} [/latex]. Полученные значения [latex] {\displaystyle d_{ij}^{n}}[/latex] являются длинами кратчайших путей между вершинами [latex]. {\displaystyle i,\;j.} [/latex].

Код

Условие на e-olymp.com
Решение на e-olymp.com
Код на ideone.com

e-olymp 982. Связность

Задача. Проверить, является ли заданный неориентированный граф связным, то есть что из любой вершины можно по рёбрам этого графа попасть в любую другую.

Входные данные

В первой строке заданы количество вершин n и ребер m в графе соответственно (1 \leq n \leq 100, 1 \leq m \leq 10000). Каждая из следующих m строк содержит по два числа u_i и v_i (1 \leq u_i, v_i \leq n);  каждая такая строка означает, что в графе существует ребро между вершинами u_i и v_i.

Выходные данные

Выведите «YES», если граф является связным и «NO» в противном случае.

Тесты

Test Input Output
1 4 2
1 2
3 4
NO
2 5 4
1 2
5 3
4 5
3 4
NO
3 5 4
1 2
5 1
3 5
4 3
YES

Код программы

 

Алгоритм

Чтобы установить, является ли граф связным, я использовала удобный для этого алгоритм поиска в ширину. Он заключается в следующем: начиная с какой-то вершины, мы поочередно просматриваем все вершины, соседние с ней. Каждую посещенную вершину мы помечаем маркером. Затем повторяем этот процесс для каждой из соседних вершин, и так далее. Поиск будет продолжаться, пока мы не обойдем все вершины, которые можно достигнуть из данной. Если после этого в графе осталась хотя бы одна не помеченная вершина, значит из нее нельзя попасть в помеченные, то есть граф не является связным. При этом неважно, с какой вершины мы будем начинать поиск, ведь нам нужно установить сам факт, связный граф или нет.

 
Ссылка на Ideone