e-olymp 9414. Убить всех термитов

Условие задачи

На дереве живут термиты. Ваша задача убить их всех. Дерево является неориентированным связным графом с $n$ вершинами и $n — 1$ ребрами. Чтобы убить термитов, Вам следует отравить некоторые вершины. Если термит попадает на вершину с ядом, то он немедленно умирает. Вы не знаете, где изначально находятся термиты. Но Вы знаете, что термиты каждый раз попадают в случайную соседнюю вершину. Однако если термит прошел ребро $(u, v)$, то следующее ребро должно отличаться от $(v, u)$ за исключением случая, когда термит попадает в лист (в этом случае термит поворачивается и возвращается назад). Вам следует отравить минимальное количество вершин так, чтобы термиты попали в отравленные вершины после конечного числа шагов.

Входные данные

Первая строка содержит одно целое число $n$ $(1 \leqslant n \leqslant 100000)$. Следующая строка содержит $n — 1$ целое число  $p_{i} (2 \leqslant i \leqslant n)$, означающее что ребро соединяет $p_{i}$ и $i$.

Выходные данные

Выведите минимальное количество отравленных вершин.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 1 1
2 2
1
1
3 8
1 1 2 1 2 3 2
2
4 5
1 2 1 4
1
5 16
1 2 3 4 5 3 7 1 9 9 11 11 13 13 15
3
6 10
1 2 3 3 1 2 3 7 9
2
7 8
1 1 3 3 1 6 6
2

Код

Решение задачи

Поскольку в задаче речь идет о дереве, циклов в нем нет по определению. Значит, единственным способом для термита ходить «вечно» будет путь между двумя листами, в которых он сможет разворачиваться. Фактически, задача сводится к вопросу «Какое минимальное количество вершин в дереве нужно отравить, чтобы нельзя было добраться из любого листа в другой лист не пройдя через отравленные?».

Определим для этого $3$ типа вершин: лист, развилка и обычная вершина. Листом назовем вершину, у которой нет детей (всего $1$ связь с другой вершиной). Обычные вершины — те, у которых ровно $2$ связи (для нашего термита это пути вниз или вверх). Развилкой назовем вершину, у которой $3$ или больше связей с другими. Будем считать корень тоже развилкой, даже если у него всего $2$ связи, или листом, если одна. Через развилки можно ходить из одного листа в другой, либо «вверх» — в сторону корня.

Типы вершин

$1$ — корень; $5,6,3$ — листья; $4$ — развилка; $2$ — обычная;

Первый этап

Очевидно, выгоднее всего «закрывать» развилки. А среди них — те, которые соединяют несколько листов напрямую. Пусть каждый лист отправляет «запрос» вверх по дереву на закрытие ближайшей к нему развилки. Когда «запрос» доходит до развилки, он тут же записывается на её счёт. Таким образом, в дереве выше вершина $4$ будет иметь $2$ запроса — от листов $5$ и $6$, а корень — $1$ запрос от листа $3$.

Теперь, просто считаем количество вершин с количеством запросов $\geqslant2$ и «закрываем» их.

Второй этап

Увы, первый этап не идеален и может «не донести» запросы в нужное место, т.к. некоторые развилки (а именно — соединяющие лист и другую развилку) могут остаться с одним запросом и не быть закрытыми. Если таких много, термит все еще может ходить между листами. Например, в таком дереве:

Дерево 2

Дерево, в котором необходим второй этап

Вершина $2$ и корень получают по $1$ запросу и остаются открытыми, а у термита остается путь между листами $10$ и $6$.

Для предотвращения таких случаев, пробежимся по дереву «снизу вверх» — от самого нижнего уровня до верхнего и для каждой развилки, у которой ровно $1$ запрос, сместим его вверх аналогично первому этапу — до ближайшей развилки. Будем выполнять этот шаг, пока есть такие вершины (с $1$ запросом).

В итоге, все запросы «соединятся» в нужных развилках, значение в них станет $\geqslant2$ и эти развилки нужно будет тоже закрыть. Для дерева выше, будет закрыт корень.

Осталось посчитать кол-во закрытых.

Описание алгоритма

Дерево будем хранить в ArrayList<ArrayList<Integer>> tree . Количество запросов для вершины $i$ хранится в killed.get(i). Стандартный ArrayList used для поиска в ширину и dist- ArrayList расстояний от корня до вершин, которые и будут определяться с помощью BFS.

Функция kills предназначена для того, чтобы донести запрос от листа до развилки. Она рассматривает $3$ случая:

  1.   v == p — текущая вершина совпадает с той, из которой пришли. Это крайний случай, говорящий о том, что мы только начали и находимся в листе. Тогда, идем в единственно возможном направлении — tree.get(v).get(0).
  2. tree.get(v).size() == 2 — вершина обычного типа, просто идем «вверх», выбирая из двух путей тот, что не совпадает с предыдущей вершиной.
  3. tree.get(v).size() >= 3 — попали в развилку. Увеличиваем ее значение killed.get(v) и выходим из рекурсии.

Функция goup отличается от kills лишь тем, что при v == p выбирает из всех направлений то, которое ближе к корню, используя dist.

Подготовка

Можно заметить, что для всех деревьев из $5$ или менее вершин ответ будет $1$. Проверим это сразу при вводе n. Далее, осторожно считываем дерево в tree (см. Входные данные). В следующем цикле, определяем листья и запоминаем их в ArrayList leaves. Нужно учесть то, что корень может быть листом, если у него всего $2$ связи — одна с деревом, а другая — искусственно созданная нами в $0$ вершину.  Последний шаг — запустить поиск в ширину из корня, который заполнит ArrayList dist расстояниями от корня до вершин.

Первый этап

Просто запускаем kills (l, l) из каждого листа l для «отправки» запросов в ближайшие развилки.

Второй этап

Определяем максимальную «глубину» дерева — максимальное расстояние вершины от корня. Далее, для каждого уровня от самого нижнего до корня, при определении вершины со значением killed.get(i) == 1 запускаем goup (i, i), а в переменной wentup считаем количество таких случаев. Как только их не останется — while выйдет из цикла.

Наконец, осталось просто посчитать количество вершин, у которых значение killed.get(i) >= 2.
Задача на e-olymp
Код решения на ideone
Засчитанное решение на e-olymp

e-olymp 4764. Степени вершин

Задача

Простой неориентированный граф задан матрицей смежности. Найдите степени всех вершин графа.

Входные данные

В первой строке задано количество вершин графа [latex]n (1 ≤ n ≤ 100)[/latex]. Затем идут [latex]n[/latex] строк по [latex]n[/latex] элементов в каждой — описание матрицы смежности.

Выходные данные

Выведите [latex]n[/latex] чисел — степени всех вершин.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 3
0 1 0
1 0 1
0 1 0
1
2
3
2 4
0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
1 0 1 0
2
2
1
2
3 4
1 1 1 0
1 0 1 1
1 1 0 1
0 1 1 1
3
3
3
3
4 5
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 1 1 1 0
3
3
3
3
4
5 5
0 1 0 0 1
1 0 1 1 1
0 1 0 1 1
0 1 1 0 1
1 1 1 1 0
2
4
3
3
4

Код задачи

Решение

В ячейке [latex]deg[i][/latex] будем подсчитывать степень вершины [latex]i[/latex], которая равна количеству единиц в i-ой строки матрицы смежности.
Для неориентированного графа степень вершины — это количество всех инцидентных ей ребер.
Граф [latex]G=(V,U)[/latex] может быть задан матрицей смежности. Это квадратная матрица размерности [latex]n\times n[/latex], где [latex]n=\left |V \right | [/latex]. Матрица смежности неориентированного графа симметрична. Элементы матрицы смежности определяются следующим образом.
1- если [latex]i[/latex]-тая и [latex]j[/latex]-тая вершины графа смежны
0- иначе
[latex] a_{ij}=\left\{\begin{matrix}
1\\
0
\end{matrix}\right.\\[/latex]

Ссылки

Задача на e-olymp

Код задачи на ideone

e-olymp 974. Флойд-1

Задача

Полный ориентированный взвешенный граф задан матрицей смежности. Постройте матрицу кратчайших путей между его вершинами. Гарантируется, что в графе нет циклов отрицательного веса.

Входные данные

В первой строке записано количество вершин графа n (1n100). В следующих n строках записано по n чисел — матрица смежности графа (j-ое число в i-ой строке соответствует весу ребра из вершины i в вершину j). Все числа по модулю не превышают 100. На главной диагонали матрицы — всегда нули.

Выходные данные

Выведите n строк по n чисел — матрицу кратчайших расстояний между парами вершин. j-ое число в i-ой строке должно равняться весу кратчайшего пути из вершины i в вершину j.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
2 4
1 2 0 0
2 2 4 4
0 0 1 1
3 4 2 1
1 0 0 0
2 2 2 2
0 0 1 0
2 2 2 1
3 2
3 2
1 1
3 2
1 1

Код программы:

Решение

Считываем число вершин, затем матрицу смежности. Записываем матрицу смежности в массив указателей. Затем для создания матрицы минимальных путей заменяем каждый элемент матрицы на минимум из непосредственного расстояния между вершинами в матрице смежности и расстоянием между ними, проходящим через одну из их общих вершин. Выводим матрицу минимальных путей.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp.com.

Код решения на ideone.com.

e-olymp 5082. Степени вершин

Задача

Дан простой неориентированный невзвешенный граф. Требуется для каждой вершины подсчитать ее степень.

Входные данные

В первой строчке находится число $N (1 ≤ N ≤ 1000)$. В следующих $N$ строчках находится матрица смежности.

Выходные данные

Выведите $N$ чисел – степени всех вершин.

Тесты

Входные данные Выходные данные
2
0 1
1 0
1 1
3
0 1 0
1 0 1
0 1 0
1 2 1
5
1 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 1 1 1
6 1 6 1 6
5
1 0 0 0 1
0 1 0 1 0
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 0 0
3 3 2 1 1

Код программы

 

Решение задачи

Для решении задачи даже не нужно запоминать значения элементов матрицы. Выполняем данные действия $N$ раз, для каждой строки матрицы. Храним ответ в переменной counter , изначально $0$. По очереди считываем все ее элементы и, если текущий элемент равен $1$, то прибавялем степени $2$, если элемент принадлежит главной диагонали (т.к. тогда это петля, а при подсчете степени ребро-петля учитывается дважды), иначе — $2$. Затем выводим результат через пробел.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp.com
Решение задачи на ideone.com

e-olymp 2470. Проверка на неориентированность

Задача

По заданной квадратной матрице [latex]n×n[/latex] из нулей и единиц определить, может ли она быть матрицей смежности простого неориентированного графа. Напомним, что простой граф не содержит петли и мультиребра.

Входные данные

В первой строке задано число [latex](1 \leqslant n \leqslant 100).[/latex] Затем идут [latex]n[/latex] строк по [latex]n[/latex] элементов в каждой — описание матрицы смежности.

Выходные данные

Вывести [latex]YES,[/latex] если граф простой неориентированный, и [latex]NO[/latex] в противном случае.

Тесты

# Входные данные Выходные данные
1 3
0 1 1
1 0 1
1 1 0
YES
2 3
0 1 1
1 0 1
0 1 0
NO
3 3
0 1 0
1 1 1
0 1 0
NO
4 4
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
NO
5 4
0 0 1 1
0 0 0 1
1 0 0 0
1 1 0 0
YES

Код программы

Решение задачи

Чтобы введённая матрица была матрицей смежности простого неориентированного графа, она должна, во-первых, быть симметричной, то есть элементы на соответствующих позициях должны быть равны между собой: [latex]a[i][j] = a[j][i].[/latex] Во-вторых, необходимо, чтобы элементы главной диагонали матрицы равнялись нулю. Таким образом, нам нужно проверить, выполняются ли указанные условия. Для этого воспользуемся обычными двумерными массивами. Затем проверим является ли граф простым. Если [latex]a[i][j] = 1,[/latex] то граф содержит петлю, следовательно простым не является. Затем проверим матрицу на симметричность, т. е. выполняется ли условие [latex]a[i][j] = a[j][i].[/latex] Если при проверке на симметричность и равенство нулю главной диагонали хоть одно значение элемента матрицы не удовлетворяет условию, то это означает, что введённая матрица не является матрицей смежности неориентированного графа, — на экран выводится [latex]«NO».[/latex] Если же оба условия выполняются, приведённая матрица — матрица смежности. Выводим [latex]«YES».[/latex]

Ссылки

Ссылка на e-olymp
Ссылка на ideone

e-olymp 93. Truck driving

Task

Umidsh Izadish is a truck driver and wants to drive from a city to another city while there exists a dedicated straight road between each pair of cities in that country. Amount of consumed fuel is the distance between two cities which is computed from their coordinates. There is a gas station in each city, so Umidsh can refuel the gas container of his truck. Your job is to compute the minimum necessary volume of gas container of Umidsh’s Truck.

Input data

The first line of input contains an integer, the number of test cases. Following, there are data for test cases. Each test case begins with a line containing one integer $C$, $2 /leq C /leq 200$, which is the number of cities. The next $C$ lines each contain two integers $x$,$y$ representing the coordinate of one city. First city is the source city and second is the destination city of Umidsh.

Output data

There should be one line for each test case in output. Each line should contain one floating point number which is the minimum necessary volume of truck’s gas container, printed to three decimals.

Tests

Input Output
$2$
$2$
$0$ $0$
$3$ $4$
$3$
$17$ $4$
$19$ $4$
$18$ $5$
$5.000$
$1.414$
$1$
$3$
$4$ $5$
$4$ $6$
$4$ $7$
$1.000$
$2$
$4$
$0$ $1$
$0$ $-1$
$1$ $0$
$-1$ $0$
$3$
$8$ $9$
$0$ $1$
$14$ $14$
$1.414$
$11.314$

Code

Solution

We can interpretate the set of the cities as weighted graph, which vertices represent cities and weight of each edge between two vertices is the gas volume required for passing the distance between corresponding cities.
The volume of truck’s gas container depends on the gas volume required for arrival to the each next station of the Umidsh’s way. The maximum between gas volume required to get to the city $A$ and gas volume required to pass the way from the city $a$ to the city $B$ represents the minimum necessary gas volume required to get to the city $B$ through the city $A$. So the volume of truck’s gas container would turn to minimum, when the maximum gas volume required for passing the distance between each two stations of his way would turn to minimum. Thus we could use modified Dijkstra’s algorithm to find the biggest value among the weights of an edges between each two stations of the way between vertice 0 and vertice 1.

Note: To use Node objects in the PriorityQueue, there should be a way to compare this objects. Thus, it was required to overwrite a method CompareTo so that we could implement interface Comparable

References

The task at e-olymp.com

e-olymp 209. Защита от копирования

Условие

Давным-давно, в далекой-далекой галактике, когда еще не вышел мультфильм про смешариков, никто не знал про Гарри Поттера и про Властелина Колец, на далекой-далекой планете жили-были полчища смешариков. Их технологии были настолько совершенны, что они создали машину времени и перенеслись на ней в будущее, на планету «Земля», где одному из них совершенно случайно попалась первая серия «Смешариков». Исследователей эта серия так потрясла, что они предприняли чрезвычайно опасный рейд, в ходе которого им удалось добыть полное собрание серий. Эти серии они увезли на родину, где они стали безумно популярными. К сожалению, мультфильмы были с системой защиты от копирования, а смешарики по своей законопослушной сущности не приспособлены к хакерской деятельности. Поэтому им пришлось обмениваться привезенными с Земли дисками.

Местная поп-звезда Билаш обиделся на такую популярность, к которой он не имел никакого отношения, и решил вернуть все в старое русло. Для этого Билаш хочет рассорить смешариков, чтобы они разделились на два не общающихся между собой лагеря. Для того, чтобы поссорить пару смешариков, Билашу требуется израсходовать 1 у.е. усилий. Но, так как Билаш жутко ленив, он хочет приложить минимум усилий для достижения своей цели. Помогите ему.

Входные данные

Hа первой строке два числа $N(N\leq 100)$ и $M$ — количество смешариков и количество пар смешариков, которые обмениваются мультфильмами. На последующих $M$ строках перечисляются пары чисел $U$ и $V$, означающих, что смешарик U и смешарик V знакомы друг с другом и обмениваются мультфильмами.

Выходные данные

Вывести минимальное число у.е., которое придется затратить Билашу на достижение своей цели.

Тесты

Входные данные Выходные данные
$5$ $5$
$1$ $2$
$3$ $2$
$2$ $4$
$3$ $5$
$2$ $5$
$1$
$5$ $5$
$1$ $3$
$3$ $5$
$5$ $2$
$2$ $4$
$4$ $1$
$2$
$2$ $1$
$2$ $1$
$1$

Код решения

Решение

Зададим связи между смешариками в виде графов, где сами смешарики являются вершинами, смежными в том случае, если они дружат. Тогда задача сводится к нахождению минимального количества ребер, которые необходимо удалить в графе, чтобы разбить его на две не связанные между собою компоненты. Такую постановку задачи полностью решает алгоритм Штор-Вагнера в несколько упрощенном виде, так как нам не нужно знать, какие именно ребра графа надо разорвать, а достаточно подсчитать их количество.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на ideone.com

e-olymp 992. Города и дороги

Задача

В галактике «Milky Way» на планете «Neptune» есть n городов, некоторые из которых соединены дорогами. Император «Maximus» галактики «Milky Way» решил провести инвентаризацию дорог на планете «Neptune». Но, как оказалось, он не силен в математике, поэтому он просит Вас сосчитать количество дорог.

Вводные данные

В первой строке записано число $n$ $(0 \leq n \leq 100)$. В следующих $n$ строках записано по $n$ чисел, каждое из которых является единичкой или ноликом. Причем, если в позиции $(i, j)$ квадратной матрицы стоит единичка, то $i$-ый и $j$-ый города соединены дорогами, а если нолик, то не соединены.

Выходные данные

Вывести одно число — количество дорог на планете «Neptune».

Тесты

Входные данные Выходные данные
$3$
$0$ $1$ $1$
$1$ $0$ $1$
$1$ $1$ $0$
$3$
$3$
$0$ $1$ $0$
$1$ $0$ $0$
$0$ $0$ $0$
$1$
$5$
$0$ $1$ $0$ $1$ $1$
$1$ $0$ $0$ $0$ $0$
$0$ $0$ $0$ $0$ $0$
$1$ $0$ $0$ $0$ $0$
$1$ $0$ $0$ $0$ $0$
$3$

Код программы(использование матрицы смежности)

Решение задачи(использование матрицы смежности)

Для решения задачи вводим матрицу смежности. Далее в цикле проходим верхнюю треугольную часть матрицы смежности и если попадается $1$, то увеличиваем число дорог на $1$. Выводим количество дорог. Задача решена.

Код программы(потоковая обработка)

Решение задачи(потоковая обработка)

Для решения задачи вводим числа пока они вводятся. Поскольку дороги идут с одного города в другой и наоборот, то их количество будет равно половине единичек в матрице смежности, то есть половине единичек входящих во входной поток. Cчитаем их количество и делим на $2$. Выводим количество дорог. Задача решена.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на ideone.com(матрица смежности)
Код решения на ideone.com(потоковая обработка)

e-olymp 2471. От матрицы смежности к списку рёбер

Задача

Простой неориентированный граф задан матрицей смежности, выведите его представление в виде списка рeбер.

Вводные данные

Первая строка содержит количество вершин $n$ $(1 \leq n \leq 100)$ в графе. Затем идут $n$ строк по $n$ элементов в каждой — описание матрицы смежности.

Выходные данные

Вывести список ребер, упорядоченный по первой вершине в паре вершин, которая описывает ребро.

Тесты

Входные данные Выходные данные
$3$
$0$ $1$ $1$
$1$ $0$ $1$
$1$ $1$ $0$
$1$ $2$
$1$ $3$
$2$ $3$
$3$
$0$ $1$ $0$
$1$ $0$ $0$
$0$ $0$ $0$
$1$ $2$
$5$
$0$ $1$ $0$ $1$ $1$
$1$ $0$ $0$ $0$ $0$
$0$ $0$ $0$ $0$ $0$
$1$ $0$ $0$ $0$ $0$
$1$ $0$ $0$ $0$ $0$
$1$ $2$
$1$ $4$
$1$ $5$

Код программы

Решение задачи

Для решения задачи вводим матрицу смежности. Далее в цикле проходим верхнюю треугольную часть матрицы смежности и выписываем индексы (из какой вершины и в какую другую вершину идет ребро, т.е. получаем список ребер). Задача решена.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения на ideone.com

e-olymp 977. Дерево?

Задача

Неориентированный граф без петель и кратных ребер задан матрицей смежности. Определить, является ли этот граф деревом.

Входные данные

Первая строка содержит количество вершин графа $n \left (1 \leq n \leq 100 \right).$ Далее записана матрица смежности размером $n × n$, в которой $1$ обозначает наличие ребра, $0$ — его отсутствие. Матрица симметрична относительно главной диагонали.

Выходные данные

Выведите сообщение YES, если граф является деревом, и NO в противном случае.

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]3 \\ 0 \ 1 \ 0 \\ 1 \ 0 \ 1 \\ 0 \ 1 \ 0[/latex] [latex]YES[/latex]
[latex]2 \\ 0 \ 1 \\ 1 \ 0[/latex] [latex]YES[/latex]
[latex]4 \\ 0 \ 0 \ 0 \ 1 \\ 0 \ 0 \ 1 \ 0 \\ 0 \ 1 \ 0 \ 0 \\ 1 \ 0 \ 0 \ 0[/latex] [latex]NO[/latex]
[latex]1 \\ 0[/latex] [latex]YES[/latex]

Код программы

Решение задачи

Считываем граф в ArrayList&lt;ArrayList&gt;. Далее выбираем любую вершину и запускаем из нее своего рода dfs. Заключается он в том, что мы идем к потомкам текущей вершины, попутно смотря были ли мы здесь. Если были, завершаем процесс, так как мы нашли цикл (граф, содержащий цикл, не является деревом). При этом мы не идем от потомка к предку. В конце проверяем обошли ли мы все вершины и не встречались ли нам циклы.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения