e-olymp 97. Числа Белла

Задача

Bell
Число Белла $B_n$ равно количеству разбиений множества из $n$ элементов на произвольное количество непересекающихся непустых подмножеств. Например, $B_3 = 5$, так как существует $5$ возможных разбиений множества $\lbrace a, b, c\rbrace$: $\lbrace\lbrace a\rbrace, \lbrace b\rbrace, \lbrace c\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace a, b\rbrace, \lbrace c\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace a, c\rbrace, \lbrace b\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace a\rbrace, \lbrace b, c\rbrace\rbrace, \lbrace\lbrace a, b, c\rbrace\rbrace$. Дополнительно считаем, что $B_0 = 1$.
Рассмотрим определитель $D_n$:
$$D_n = \begin{vmatrix}
B_0& B_1& B_2&\ldots& B_n\\
B_1& B_2& B_3&\ldots& B_{n+1}\\
\ldots& \ldots& \ldots& \ldots& \ldots\\
B_n& B_{n+1}& B_{n+2}&\ldots& B_{2n}
\end{vmatrix}$$
Для заданного простого числа $p$ найти наибольшее целое $k$, для которого $D_n$ делится на $p^k$.

Входные данные

Каждая строка ввода содержит два целых числа $n$ и $p$ ($0\leq\; n,\;p \;\leq\; 10000$). Известно, что $p$ – простое.

Выходные данные

Для каждой пары входных значений $n$ и $p$ в отдельной строке выведите наибольшее целое $k$, для которого $D_n$ делится на $p^k$.

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 5
3 2
4 2
4 3
10000 3
0
2
5
2
24962375
18 2
465 1009
9998 9221
548 11
134
0
778
14412
1093 1093
1103 1723
3931 617
4868 6113
9534 71
1
0
10635
0
639989
617 17
42 11
0 5
11295
63
0

Код программы

Решение

Числа Белла обладают интересным свойством:
$$D_n = \begin{vmatrix}
B_0& B_1& B_2&\ldots& B_n\\
B_1& B_2& B_3&\ldots& B_{n+1}\\
\ldots& \ldots& \ldots& \ldots& \ldots\\
B_n& B_{n+1}& B_{n+2}&\ldots& B_{2n}
\end{vmatrix} = \prod_{i=1}^n i!$$
Воспользуемся этим свойством для решения данной задачи. Найдём степень числа $p$
в разложении на простые множители. Для этого узнаем степень вхождения этого числа в каждый из факториалов. Суммой полученных значений и будет являться искомое число $k$.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Решение на ideone
Решение на e-olymp
Число Белла на wikipedia

e-olymp 4475. Часы

Задача

Жители планеты Олимпия любят летать в гости на другие планеты. Ученые планеты разработали часы, которые могут налаживаться для отсчета времени на любой планете. Эти часы состоят из шариков, лотка (очереди) и трех чаш: секундной, минутной и часовой. В каждый момент времени количество шариков в чашах показывает время (секунды, минуты и часы соответственно). Каждую секунду первый шарик из очереди попадает в секундную чашу. Если секундная чаша наполнилась (количество шариков равно количеству секунд в минуте на этой планете), то этот шарик переходит в минутную чашу, а остальные шарики переходят из секундной чаши в конец очереди в порядке, обратном к их попаданию в секундную чашу. Аналогично, при наполнении минутной чаши последний шарик переходит в часовую чашу, а остальные шарики из минутной чаши переходят в конец очереди в порядке, обратном к их попаданию в минутную чашу. Если заполняется часовая чаша, то все шарики из нее переходят в конец очереди в порядке, обратном к их попаданию в часовую чашу. Все шарики пронумерованы и в начальный момент времени находятся в очереди.

Написать программ, вычисляющую минимальное количество суток, необходимых для того, чтобы начальное положение шариков в очереди повторилось.

Входные данные

Входной файл содержит в единственной строке натуральные числа $S, M, H, K$ (количество секунд в минуте, минут в часе, часов в сутках и общее количество шариков соответственно), причем:

  • $S, M, H ≤ 60$;
  • $S+M+H-2≤K≤1000$

Выходные данные

Выходной файл должен содержать в единственной строке вычисленное Вашей программой количество суток.

Тесты

Входные данные Выходные данные
$5$ $12$ $12$ $30$ $380$
$7$ $10$ $40$ $70$ $5610$
$60$ $60$ $60$ $500$ $4560840$
$60$ $30$ $5$ $1000$ $4970$

Код программы

Алгоритм решения

  1. Интуитивно понятно, что положение шариков в очереди ежесуточно изменяется по одному и тому же закону, в силу однообразия процесса. Отыскать конкретный вид перестановки можно прямым моделированием часов, используя дек для описания лотка и стеки — каждой из чаш (у очереди задействованы оба конца, у чаш — только один).
  2. Определить порядок суточной перестановки можно и возведением её в степень, но это нерациональный способ. Используя теорему о разложении перестановки в композицию циклов (к слову, непересекающихся), можно заметить, что порядок каждого из циклов равен его длине. Если мысленно представить перестановку в виде ориентированного графа, то процесс поиска циклов сведётся к поиску в глубину: обойти каждую компоненту связности, зафиксировать число входящих в неё вершин (на илл.)
    $\begin{pmatrix}
    1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\
    1& 5& 8& 2& 4& 3& 7& 7& 6& 10
    \end{pmatrix}$
    permutations in group
  3. Зная длины всех циклов, нетрудно заметить, что задача сводится к поиску НОК полученной последовательности длин. Обосновать такой переход можно индуктивно: порядок перестановки, представимой в виде композиции двух циклов, равен НОК их длин, а случай большего количества циклов в разложении сводится к рассмотренному последовательным рассмотрением пар циклов (результат не зависит от порядка рассмотрения в силу ассоциативности композиции).

Примечание

Операция взятия остатка для чисел с плавающей точкой не определена аппаратно, так что алгоритм Евклида вычисления НОД реализован в соответствии с его математическим описанием.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения