e-olymp 1872. Снеговики

Задача

Зима. 2012 год. На фоне грядущего Апокалипсиса и конца света незамеченной прошла новость об очередном прорыве в областях клонирования и снеговиков: клонирования снеговиков. Вы конечно знаете, но мы вам напомним, что снеговик состоит из нуля или более вертикально поставленных друг на друга шаров, а клонирование — это процесс создания идентичной копии (клона).

В местечке Местячково учитель Андрей Сергеевич Учитель купил через интернет-магазин «Интернет-магазин аппаратов клонирования» аппарат для клонирования снеговиков. Теперь дети могут играть и даже играют во дворе в следующую игру. Время от времени один из них выбирает понравившегося снеговика, клонирует его и:

  • либо добавляет ему сверху один шар;
  • либо удаляет из него верхний шар (если снеговик не пустой).

Учитель Андрей Сергеевич Учитель записал последовательность действий и теперь хочет узнать суммарную массу всех построенных снеговиков.

Входные данные

Первая строка содержит количество действий $n (1 ≤ n ≤ 200000)$. В строке номер $i + 1$ содержится описание действия:

  • $t m$ — клонировать снеговика номер $t (0 ≤ t < i)$ и добавить сверху шар массой $m (0 < m ≤ 1000)$;
  • $t 0$ — клонировать снеговика номер $t (0 ≤ t < i)$ и удалить верхний шар. Гарантируется, что снеговик не пустой.

В результате действия $i$, описанного в строке $i + 1$ создается снеговик номер $i$. Изначально имеется пустой снеговик с номером ноль.

Все входные числа целые.

Выходные данные

Выведите суммарную массу построенных снеговиков.

Тесты

Входные данные Выходные данные
8
0 1
1 5
2 4
3 2
4 3
5 0
6 6
1 0
74
4
0 3
1 2
2 1
1 1
18
2
0 1
1 5
7
5
1 2
3 4
5 5
1 7
5 6
26

Код задачи

 

Решение задачи

Считываем n  — количество действий. Задаем двухмерный массив размером [n+1][2] . Указываем значение первого элемента равное $0$ и нулевого элемента равного $-1$, чтобы он ни на что не ссылался в начале.  В цикле считываем номер снеговика, которого нужно клонировать и массу шара, которую нужно добавить. Если масса шара равна $0$, то мы клонируем снеговика и убираем последний его шар, ссылаясь на снеговика в котором этого шара еще не было. Если же масса шара не равно $0$, то мы клонируем снеговика и добавляем ему шар массой $m$. Во второй ячейке указываем предка с которого строится новый снеговик. Выводим общую массу снеговиков.

Ссылки

Условие задачи на e-olymp.com
Решение задачи на ideone.com

e-olymp 313. A + B

A + B

Пете задали домашнее задание: найти сумму 2-х натуральных чисел A и B.

Входные данные

В первой строке задано количество заданных Пете примеров N, а далее следует N строк в формате A+B, где A и B — 2 заданных натуральных числа, между ними без пробелов символ выполнения действия сложения «+».
Соответствие входных данных указанному формату гарантируется (см. пример входных данных). Входные данные не превышают $10^{500}$. $(0 < N <= 250)$

Выходные данные

В N строках вывести искомые суммы.

Тесты

# ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
1 $2$
$5+3$
$14818641113280510+52467$
$8$
$14818641113332977$
2 $1$
$0+0$
$0$
3 $3$
$1+1$
$1+2$
$1+3$
$2$
$3$
$4$
4 $2$
$123123123 + 321321321$
$321321321 + 123123123$
$444444444$
$444444444$

 

Код программы

Решение задачи

Для решения данной задачи будем использовать класс BigInteger, поскольку в наших вычислениях могут получиться числа, превышающие максимальное значение класса Long. k-тым элементом обозначим символ «+». Далее, складываем все элементы до k-того элемента и после него, переводя эти числа в объект класса BigInteger.

Ссылки

• Задача на e-olymp.

• Решение на сайте ideone.

Сумма делителей

Данная задача является упрощенным вариантом задания олимпиады KPI-OPEN 2018.

Задача

Жил-был в тридевятом государстве мальчик по имени Костя. Он был старательным учеником и получал исключительно высокие баллы по всем предметам. И вот наш герой очень захотел стать отличником, но ему не хватало нескольких баллов по алгебре. Для того чтобы их набрать, профессор дал Косте следующую задачу:
Найти сумму делителей данного числа $n.$
Костя обратился к Вам как к опытному программисту, который знает алгебру, с просьбой о помощи решить данную задачу.

Входные данные

Одно целое число $n \left(1 \leqslant n < 10^{10}\right).$

Выходные данные

Выведите сумму делителей числа $n.$

Тесты

Входные данные Выходные данные
$12$ $28$
$239$ $240$
$1234$ $1854$
$6$ $12$
$1000000007$ $1000000008$
$44100$ $160797$
$223092870$ $836075520$
$2147483648$ $4294967295$
$678906$ $1471002$
$1111111$ $1116000$
$9876543210$ $27278469036$
$99460729$ $99470703$
$5988$ $14000$
$1$ $1$
$1348781387$ $1617960960$
$135792$ $406224$
$5402250$ $17041284$
$375844500$ $1259767236$
$1000000000$ $2497558338$
$2357947691$ $2593742460$

Код программы

Решение задачи

Пусть $n$ имеет каноническое разложение $n = p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots p_k^{\alpha_k},$ где $p_1 < p_2 < \ldots <p_k$ — простые делители числа $n$, $\alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_k \in \mathbb {N}$. Тогда сумма натуральных делителей числа $n$ равна $\sigma\left(n\right) = \left(1 + p_1 + p_1^2 +\ldots + p_1^{\alpha_1}\right)\cdot\left(1 + p_2 + p_2^2 +\ldots + p_2^{\alpha_2}\right)\cdot\ldots\times$$\times\left(1 + p_k + p_k^2 +\ldots + p_k^{\alpha_k}\right).$
Доказательство.
Рассмотрим произведение:
$\left(1 + p_1 + p_1^2 +\ldots + p_1^{\alpha_1}\right)\cdot\left(1 + p_2 + p_2^2 +\ldots + p_2^{\alpha_2}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1 + p_k + p_k^2 +\ldots + p_k^{\alpha_k}\right)$
Если раскрыть скобки, то получим сумму членов ряда:
$p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\cdot\ldots\cdot p_k^{\beta_k},$ где $0\leqslant\beta_m\leqslant\alpha_m \left(m = 1, 2, \ldots, k\right)$
Но такие члены являются делителями $n$, причем каждый делитель входит в сумму только один раз. Поэтому рассмотренное нами произведение равно сумме всех делителей $n,$ т.е. равно $\sigma\left(n\right).$ Итак, $\sigma\left(n\right)$ можно вычислить по нашей формуле. С другой стороны, каждая сумма $1 + p_m + p_m^2+\ldots+p_m^{\alpha_m}$ является суммой геометрической прогрессии с первым членом $1$ и знаменателем $p_m$. Поэтому иначе данную формулу можно переписать так:
$$\sigma\left(n\right) = \frac{p_1^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdot\frac{p_2^{\alpha_2+1}-1}{p_2-1}\cdot\ldots\cdot\frac{p_k^{\alpha_k+1}-1}{p_k-1}.$$

Ссылки

Код решения

e-olymp 1000. Задача a + b

Задача

Вычислите сумму $a+b$.

Входные данные

В каждой строке задано два целых числа $a$ и $b$ $(|a|,|b| \leq 30000)$.

Выходные данные

Для каждого теста выведите сумму $a+b$ в отдельной строке.

Тесты

Входные данные Выходные данные
$4$ $8$
$5$ $0$
$-6$ $8$
$12$
$5$
$2$
$-3$ $3$ $0$
$12$ $8$
$10$ $10$
$20$
$20$
$30000$ $30000$
$3000$ $3000$
$300$ $300$
$30$ $30$
$3$ $3$
$60000$
$6000$
$600$
$60$
$6$
$10$ $23$
$613$ $2$
$-200$ $300$
$33$
$615$
$100$

Код программы

Решение задачи

Пока вводятся пары чисел, они считываются и на экран выводится их сумма.

Ссылки

Условие на e-olymp
Решение на языке C++ с описанием решения
Код на java

e-olymp 519. Сумма квадратов

Условие задачи
Найти сумму квадратов двух чисел.
Входные данные
Два целых числа $a$ и $b$. Числа не превышают $10^9$ по абсолютной величине.
Выходные данные
Выведите одно целое число $a^2+b^2$
Тесты

Входные данные Выходные данные
2 2
8
5 5
50
-5 -2
29
500 500
500000
1210 1250
3026600

Код программы

Решение задачи
Создаем 2 переменные a и b, в которые записываем данные, дальше выводим на экран одно целое число, которое равно $a^2+b^2$.
Ссылки
Задача на сайте e-olymp
Код решения в Ideone

e-olymp 1128. Проблема Лонги

Задача

Лонги хорошо разбирается в математике, он любит задумываться над трудными математическими задачами, которые могут быть решены при помощи некоторых изящных алгоритмов. И вот такая задачка возникла:
Дано целое число [latex]n[/latex] [latex](1 < n < 231)[/latex], Вы должны вычислить [latex]\sum\limits_{i=1}^n gcd [/latex] для всех [latex] 1 ≤ i ≤ n[/latex].
"О, я знаю, я знаю!" — воскликнул Лонги! А знаете ли Вы? Пожалуйста, решите её.

Входные данные

Каждая строка содержит одно число [latex]n[/latex].

Выходные данные

Для каждого значения [latex]n[/latex] следует вывести в отдельной строке сумму [latex]\sum\limits_{i=1}^n gcd [/latex] для всех [latex] 1 ≤ i ≤ n[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]2[/latex] [latex]6[/latex] $3$
$15$
[latex]1[/latex] [latex]50[/latex] [latex]100[/latex] $1$
$195$
$520$
[latex]7[/latex] [latex]4791[/latex] [latex]12345678[/latex] [latex]478900[/latex] $13$
$15965$
$170994915$
$4980040$
[latex]123[/latex] [latex]7777[/latex] [latex]157423949[/latex] [latex]904573[/latex] $2147483648$ $405$
$54873$
$613124817$
$1809145$
$35433480192$

Код программы

Согласно свойству НОД, если некоторые числа [latex]a_1[/latex] и [latex]a_2[/latex] взаимно просты, то [latex]\gcd \left(a_1 \cdot a_2, c\right) = \gcd \left(a_1, c\right) \cdot \gcd \left(a_2, c\right)[/latex], где [latex]c[/latex] — некоторая константа. Если же вместо [latex]c[/latex] взять [latex]i[/latex] ([latex] 1 ≤ i ≤ a_1 \cdot a_2[/latex]) и просуммировать по [latex]i[/latex] обе части равенства, получим:
[latex]\sum\limits_{i=1}^{a_1 \cdot a_2} \gcd \left(a_1 \cdot a_2, i\right) = \sum\limits_{i=1}^{a_1 \cdot a_2} \left(\gcd \left(a_1, i\right) \cdot \gcd \left(a_2, i\right)\right) = \sum\limits_{i=1}^{a_1} \gcd \left(a_1, i\right) \cdot \sum\limits_{i=1}^{a_2} \gcd \left(a_2, i\right)[/latex].
Значит мы можем данное число представить как произведение простых в некоторых степенях. Эти числа, очевидно, будут взаимно простыми, из чего следует возможность применения данного свойства и последующего суммирования по [latex]i[/latex].
Теперь докажем, что для любого простого числа [latex]p[/latex] в степени [latex]a\geqslant 1[/latex] верно следующее равенство:
[latex]\sum\limits_{i=1}^{p^a} \gcd\left(p^a, i\right) = \left(a + 1\right)\cdot p^a — a \cdot p^{a-1} [/latex].
Обозначим $\sum\limits_{i=1}^{r} \gcd\left(r, i\right)$ как $g\left(r\right)$.
База индукции:
[latex]a = 1[/latex]:
$$g\left(p\right) = \gcd\left(p, 1\right) + \gcd\left(p, 2\right) + \ldots + \gcd\left(p, p\right) = \left(p — 1 \right) + p = 2 \cdot p — 1.$$
Если [latex]a = 2[/latex]:
$$g\left(p^{2}\right) = \gcd\left(p^{2}, 1\right) + \gcd\left(p^{2}, 2\right) + \ldots + \gcd\left(p^{2}, p\right) + \gcd\left(p^{2}, p + 1\right) + \ldots + \\ + \gcd\left(p^{2}, 2 \cdot p\right) + \ldots + \gcd\left(p^{2}, p^{2}\right) = 1 + 1 + \ldots + p + 1 + \ldots + p + \ldots + p^{2} = \\ = \left( p^{2} — p \right) + p \cdot \left( p — 1 \right) + p^{2} = 3 \cdot p^{2} — 2\cdot p.$$
Для любых $a \geqslant 2$:
$$g\left(p^{a}\right) = \sum\limits_{j=1}^{p^{a-1}} \gcd\left(p^a, j\right) + \sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a, j\right) + p^{a} =g\left(p^{a — 1}\right) + p^{a} + \\ + \sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a — 1, j\right).$$
Причем:
$$\sum\limits_{j=p^{a — 1} + 1}^{p^{a} — 1} \gcd\left(p^a — 1, j\right) = \sum\limits_{j=1}^{p^{a} — p^{a-1} — 1} \gcd\left(p^{a — 1}, j\right) = \\ = \sum\limits_{j=1}^{p^{a} — p^{a-1}} \gcd\left(p^{a — 1}, j\right) — p^{a — 1} = \left( p — 1\right)\cdot g\left(p^{a-1}\right) — p^{a-1}.$$
Откуда следует:
$$g\left(p^{a}\right) = p^{a} — p^{a-1} + p\cdot g\left(p^{a-1}\right).$$
Предположение индукции:
Пусть [latex]a = b[/latex]:
$$g\left(p^{b}\right) = \left(b + 1\right) \cdot p^b — b \cdot p^{b-1}.$$
Шаг индукции:
Пусть [latex]a = b + 1[/latex]:
$$g\left(p^{b + 1}\right) = p^{b + 1} — p^{b} + p\cdot g\left(p^{b}\right) = p^{b + 1} — p^{b} + p\cdot \left[\left(b+1\right) \cdot p^{b} + b\cdot p^{b-1}\right] = \\ = \left(b + 2\right)\cdot p^{b+1} — \left(b + 1\right)\cdot p^{b}.$$

Ссылки

Условие задачи на e-olymp
Код решения

e-olymp 542. Поставка содовой воды

Задача

Тим ужасно любит содовую воду, иногда он ею никак не может напиться. Еще более досадным является тот факт, что у него постоянно нет денег. Поэтому единственным легальным способом их получения является продажа пустых бутылок из-под соды. Иногда в добавок к его лично выпитым бутылкам добавляются те, которые Тим иногда находит на улице. Однажды Тима настолько замучила жажда, что он решил пить до тех пор пока мог себе это позволить.

Входные данные

Три целых неотрицательных числа $e$, $f$, $c$, где $e$ $\left(e < 1000\right)$ — количество пустых бутылок, имеющихся у Тима в начале дня, $f$ $\left(f < 1000\right)$ — количество пустых бутылок, найденных в течение дня, и $c$ $\left(1 < c < 2000\right)$ — количество пустых бутылок, необходимых для покупки новой бутылки.

Выходные данные

Сколько бутылок содовой воды смог выпить Тим, когда его замучила жажда?

Тесты

Входные данные Выходные данные
[latex]9[/latex] [latex]0[/latex] [latex]3[/latex] [latex]4[/latex]
[latex]5[/latex] [latex]5[/latex] [latex]2[/latex] [latex]9[/latex]
[latex]0[/latex] [latex]8[/latex] [latex]4[/latex] [latex]2[/latex]
[latex]22[/latex] [latex]0[/latex] [latex]4[/latex] [latex]7[/latex]

Код программы

Решение

Можно считать, что изначально у Тима имеется $e+f$ пустых бутылок. Допустим, у него есть хотя бы $c$ бутылок, необходимых для покупки новой, Тим идет и меняет их на одну полную бутылку. Затем выпивает её, после чего общее количество пустых у него уменьшается на $c — 1$. То есть за $e + f$ пустых бутылок он сможет выпить $\frac{e + f}{c — 1}$ бутылок содовой воды. Нам также следует добавить к $c — 1$ маленькую константу $a = 0.0001$, чтобы в случае, когда количество бутылок кратно $c — 1$, Тиму нельзя было взять новую бутылку с недостающим количеством пустых бутылок для этого. Следовательно, он должен выпить на одну бутылку меньше. В результате выводим целое число бутылок содовой воды, которые Тим смог выпить, когда его замучила жажда.

Ссылки

Ссылка на e-olymp

Ссылка на ideone

Ю4.35

Постановка задачи

Совместная работа. Известно время $latex t_1,t_2,\cdots,t_n$, за которое некоторую работу может выполнить каждый из $latex n$ рабочих бригады, работая в одиночку. Сколько времени понадобится бригаде на выполнение этой работы, если они будут работать совместно (и при этом никто из них не «сачкует»)?

Тесты

Количество рабочих n. Время t каждого рабочего, требуемое для выполнения некоторой работы.  Время совместной работы.
3 5 7 9 2.2
4 7 9 11 23 2.6
4 1 2 3 4 0.5
5 3 1 5 2 3 0.4

 

Код

Описание решения

В данной задаче нам нужно найти время, за которое n рабочих выполнят какую-то совместную работу. В задаче не указан  общий объём выполняемой работы, по-этому зададим его как 1. Время совместной работы находят по формуле: $latex \frac{1}{\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}}$.

В программе используем один цикл for в котором задаем значение переменной workingTime и суммируем объем выполняемой работы за час для каждого шага цикла (для каждого рабочего). После завершения цикла получаем объем работы выполняемой всеми работниками вместе за час. Делим общий объем работы на объем работы за час и получаем искомую величину.

Посмотреть, как работает программа можно на сайте  ideone.
Задача была решена на основе данного решения.

e-olymp 906

Постановка задачи

Найдите сумму цифр в десятичной записи целого числа.

Входные данные:

Целое десятичное число — [latex]x[/latex].

Выходные данные:

Сумма цифр десятичного числа — [latex]sum[/latex].

Тесты

Входные данные Выходные данные
1 234 9
2 489 21
3 31 4

Решение:

Описание решения:

Объявляем две переменные типа  int —  x  и  sum . Вводим с клавиатуры целое десятичное число  x . Используя цикл  while добавляем в  sum остаток от деления  x  на 10 до тех пор, пока остаток от деления не станет равным нулю. Выводим значение  sum на экран с помощью функции  System.out.println() .

 

MS2. Сумма чисел в потоке

Условие задачи

Сосчитать сумму чисел во входном потоке.

Тесты

Входные данные: поток чисел

Выходные данные: сумма чисел в потоке

Входные данные Выходные данные
1 1 2 4 7.0
2 0 0 0 -3 -3.0
3 12.4 25.545 37.945
4 -4.34 3.764 2.3 1.724

Код

Код доступен на ideone

Пояснение

В начале программы обьявим переменные типа doublex  для хранения текущего значения и  sum  для хранения суммы, проинициализированную числом 0. Сумма будет аккумулироваться в переменной  sum путем последовательного сложения значения этой переменной со значением текущего элемента до тех пор, пока в потоке имеется значение, что проверяется с помощью метода  hasNext()  класса  Scanner. Результат работы программы — вывод значения переменной sum.